Theorem disjss3 4652

Description: Expand a disjoint collection with any number of empty sets. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Nov-2016.)

Assertion

Ref	Expression
disjss3	|- ( ( A C_ B /\ A. x e. ( B \ A ) C = (/) ) -> (Disj x e. A C <-> Disj x e. B C ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem disjss3

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2917	. . . . . . 7 |- ( A. x e. ( B \ A ) C = (/) <-> A. x ( x e. ( B \ A ) -> C = (/) ) )
2		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( B \ A ) -> C = (/) ) /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) -> y e. C )
3		n0i 3920	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. C -> -. C = (/) )
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( B \ A ) -> C = (/) ) /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) -> -. C = (/) )
5		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. B /\ y e. C ) -> x e. B )
6	5	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( B \ A ) -> C = (/) ) /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) -> x e. B )
7		eldif 3584	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. ( B \ A ) <-> ( x e. B /\ -. x e. A ) )
8		simpl 473	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. ( B \ A ) -> C = (/) ) /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) -> ( x e. ( B \ A ) -> C = (/) ) )
9	7, 8	syl5bir 233	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x e. ( B \ A ) -> C = (/) ) /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) -> ( ( x e. B /\ -. x e. A ) -> C = (/) ) )
10	6, 9	mpand 711	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. ( B \ A ) -> C = (/) ) /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) -> ( -. x e. A -> C = (/) ) )
11	4, 10	mt3d 140	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. ( B \ A ) -> C = (/) ) /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) -> x e. A )
12	11, 2	jca 554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. ( B \ A ) -> C = (/) ) /\ ( x e. B /\ y e. C ) ) -> ( x e. A /\ y e. C ) )
13	12	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( B \ A ) -> C = (/) ) -> ( ( x e. B /\ y e. C ) -> ( x e. A /\ y e. C ) ) )
14	13	alimi 1739	. . . . . . 7 |- ( A. x ( x e. ( B \ A ) -> C = (/) ) -> A. x ( ( x e. B /\ y e. C ) -> ( x e. A /\ y e. C ) ) )
15	1, 14	sylbi 207	. . . . . 6 |- ( A. x e. ( B \ A ) C = (/) -> A. x ( ( x e. B /\ y e. C ) -> ( x e. A /\ y e. C ) ) )
16		moim 2519	. . . . . 6 |- ( A. x ( ( x e. B /\ y e. C ) -> ( x e. A /\ y e. C ) ) -> ( E* x ( x e. A /\ y e. C ) -> E* x ( x e. B /\ y e. C ) ) )
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 |- ( A. x e. ( B \ A ) C = (/) -> ( E* x ( x e. A /\ y e. C ) -> E* x ( x e. B /\ y e. C ) ) )
18	17	alimdv 1845	. . . 4 |- ( A. x e. ( B \ A ) C = (/) -> ( A. y E* x ( x e. A /\ y e. C ) -> A. y E* x ( x e. B /\ y e. C ) ) )
19		dfdisj2 4622	. . . 4 |- (Disj x e. A C <-> A. y E* x ( x e. A /\ y e. C ) )
20		dfdisj2 4622	. . . 4 |- (Disj x e. B C <-> A. y E* x ( x e. B /\ y e. C ) )
21	18, 19, 20	3imtr4g 285	. . 3 |- ( A. x e. ( B \ A ) C = (/) -> (Disj x e. A C -> Disj x e. B C ) )
22	21	adantl 482	. 2 |- ( ( A C_ B /\ A. x e. ( B \ A ) C = (/) ) -> (Disj x e. A C -> Disj x e. B C ) )
23		disjss1 4626	. . 3 |- ( A C_ B -> (Disj x e. B C -> Disj x e. A C ) )
24	23	adantr 481	. 2 |- ( ( A C_ B /\ A. x e. ( B \ A ) C = (/) ) -> (Disj x e. B C -> Disj x e. A C ) )
25	22, 24	impbid 202	1 |- ( ( A C_ B /\ A. x e. ( B \ A ) C = (/) ) -> (Disj x e. A C <-> Disj x e. B C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   E*wmo 2471   A.wral 2912   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915  Disj wdisj 4620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rmo 2920  df-v 3202  df-dif 3577  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-disj 4621

This theorem is referenced by:  carsggect  30380