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Theorem disjxun 4651
Description: The union of two disjoint collections. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
disjxun.1 |- ( x = y -> C = D )
Assertion
Ref Expression
disjxun |- ( ( A i^i B ) = (/) -> (Disj x e. ( A u. B ) C <-> (Disj x e. A C /\ Disj x e. B C /\ A. x e. A A. y e. B ( C i^i D ) = (/) ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   y, C   x, D
Allowed substitution hints:   C( x)   D( y)
Proof of Theorem disjxun
Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 disjel 4023 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ x e. A ) -> -. x e. B )
2 eleq1 2689 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( x e. B <-> y e. B ) )
32notbid 308 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( -. x e. B <-> -. y e. B ) )
41, 3syl5ibcom 235 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ x e. A ) -> ( x = y -> -. y e. B ) )
54con2d 129 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ x e. A ) -> ( y e. B -> -. x = y ) )
65impr 649 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> -. x = y )
7 biorf 420 . . . . . . . 8 |- ( -. x = y -> ( ( C i^i D ) = (/) <-> ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) ) )
86, 7syl 17 . . . . . . 7 |- ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( ( C i^i D ) = (/) <-> ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) ) )
98bicomd 213 . . . . . 6 |- ( ( ( A i^i B ) = (/) /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> ( ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) <-> ( C i^i D ) = (/) ) )
1092ralbidva 2988 . . . . 5 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( A. x e. A A. y e. B ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) <-> A. x e. A A. y e. B ( C i^i D ) = (/) ) )
1110anbi2d 740 . . . 4 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( ( A. x e. A A. y e. A ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) /\ A. x e. A A. y e. B ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) ) <-> ( A. x e. A A. y e. A ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) /\ A. x e. A A. y e. B ( C i^i D ) = (/) ) ) )
12 ralunb 3794 . . . . . 6 |- ( A. y e. ( A u. B ) ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) <-> ( A. y e. A ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) /\ A. y e. B ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) ) )
1312ralbii 2980 . . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. ( A u. B ) ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) <-> A. x e. A ( A. y e. A ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) /\ A. y e. B ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) ) )
14 nfv 1843 . . . . . 6 |- F/ z A. y e. ( A u. B ) ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) )
15 nfcv 2764 . . . . . . 7 |- F/_ x ( A u. B )
16 nfv 1843 . . . . . . . 8 |- F/ x z = w
17 nfcsb1v 3549 . . . . . . . . . 10 |- F/_ x [_ z / x ]_ C
18 nfcsb1v 3549 . . . . . . . . . 10 |- F/_ x [_ w / x ]_ C
1917, 18nfin 3820 . . . . . . . . 9 |- F/_ x ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C )
2019nfeq1 2778 . . . . . . . 8 |- F/ x ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/)
2116, 20nfor 1834 . . . . . . 7 |- F/ x ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) )
2215, 21nfral 2945 . . . . . 6 |- F/ x A. w e. ( A u. B ) ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) )
23 equequ2 1953 . . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( x = w <-> x = y ) )
24 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x y
25 nfcv 2764 . . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x D
26 disjxun.1 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> C = D )
2724, 25, 26csbhypf 3552 . . . . . . . . . . 11 |- ( w = y -> [_ w / x ]_ C = D )
2827ineq2d 3814 . . . . . . . . . 10 |- ( w = y -> ( C i^i [_ w / x ]_ C ) = ( C i^i D ) )
2928eqeq1d 2624 . . . . . . . . 9 |- ( w = y -> ( ( C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) <-> ( C i^i D ) = (/) ) )
3023, 29orbi12d 746 . . . . . . . 8 |- ( w = y -> ( ( x = w \/ ( C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) <-> ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) ) )
3130cbvralv 3171 . . . . . . 7 |- ( A. w e. ( A u. B ) ( x = w \/ ( C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) <-> A. y e. ( A u. B ) ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) )
32 equequ1 1952 . . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( x = w <-> z = w ) )
33 csbeq1a 3542 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> C = [_ z / x ]_ C )
3433ineq1d 3813 . . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( C i^i [_ w / x ]_ C ) = ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) )
3534eqeq1d 2624 . . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( ( C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) <-> ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) )
3632, 35orbi12d 746 . . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( x = w \/ ( C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) <-> ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) ) )
3736ralbidv 2986 . . . . . . 7 |- ( x = z -> ( A. w e. ( A u. B ) ( x = w \/ ( C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) <-> A. w e. ( A u. B ) ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) ) )
3831, 37syl5bbr 274 . . . . . 6 |- ( x = z -> ( A. y e. ( A u. B ) ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) <-> A. w e. ( A u. B ) ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) ) )
3914, 22, 38cbvral 3167 . . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. ( A u. B ) ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) <-> A. z e. A A. w e. ( A u. B ) ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) )
40 r19.26 3064 . . . . 5 |- ( A. x e. A ( A. y e. A ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) /\ A. y e. B ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) ) <-> ( A. x e. A A. y e. A ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) /\ A. x e. A A. y e. B ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) ) )
4113, 39, 403bitr3i 290 . . . 4 |- ( A. z e. A A. w e. ( A u. B ) ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) <-> ( A. x e. A A. y e. A ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) /\ A. x e. A A. y e. B ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) ) )
4226disjor 4634 . . . . 5 |- (Disj x e. A C <-> A. x e. A A. y e. A ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) )
4342anbi1i 731 . . . 4 |- ( (Disj x e. A C /\ A. x e. A A. y e. B ( C i^i D ) = (/) ) <-> ( A. x e. A A. y e. A ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) /\ A. x e. A A. y e. B ( C i^i D ) = (/) ) )
4411, 41, 433bitr4g 303 . . 3 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( A. z e. A A. w e. ( A u. B ) ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) <-> (Disj x e. A C /\ A. x e. A A. y e. B ( C i^i D ) = (/) ) ) )
45 nfv 1843 . . . . . . . . . 10 |- F/ w ( z = x \/ ( [_ z / x ]_ C i^i C ) = (/) )
46 equequ2 1953 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> ( z = x <-> z = w ) )
47 csbeq1a 3542 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = w -> C = [_ w / x ]_ C )
4847ineq2d 3814 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = w -> ( [_ z / x ]_ C i^i C ) = ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) )
4948eqeq1d 2624 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = w -> ( ( [_ z / x ]_ C i^i C ) = (/) <-> ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) )
5046, 49orbi12d 746 . . . . . . . . . 10 |- ( x = w -> ( ( z = x \/ ( [_ z / x ]_ C i^i C ) = (/) ) <-> ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) ) )
5145, 21, 50cbvral 3167 . . . . . . . . 9 |- ( A. x e. A ( z = x \/ ( [_ z / x ]_ C i^i C ) = (/) ) <-> A. w e. A ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) )
52 equequ1 1952 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> ( z = x <-> y = x ) )
53 equcom 1945 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x <-> x = y )
5452, 53syl6bb 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> ( z = x <-> x = y ) )
5524, 25, 26csbhypf 3552 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z = y -> [_ z / x ]_ C = D )
5655ineq1d 3813 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = y -> ( [_ z / x ]_ C i^i C ) = ( D i^i C ) )
57 incom 3805 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( D i^i C ) = ( C i^i D )
5856, 57syl6eq 2672 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = y -> ( [_ z / x ]_ C i^i C ) = ( C i^i D ) )
5958eqeq1d 2624 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> ( ( [_ z / x ]_ C i^i C ) = (/) <-> ( C i^i D ) = (/) ) )
6054, 59orbi12d 746 . . . . . . . . . 10 |- ( z = y -> ( ( z = x \/ ( [_ z / x ]_ C i^i C ) = (/) ) <-> ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) ) )
6160ralbidv 2986 . . . . . . . . 9 |- ( z = y -> ( A. x e. A ( z = x \/ ( [_ z / x ]_ C i^i C ) = (/) ) <-> A. x e. A ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) ) )
6251, 61syl5bbr 274 . . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( A. w e. A ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) <-> A. x e. A ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) ) )
6362cbvralv 3171 . . . . . . 7 |- ( A. z e. B A. w e. A ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) <-> A. y e. B A. x e. A ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) )
64 ralcom 3098 . . . . . . 7 |- ( A. y e. B A. x e. A ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) <-> A. x e. A A. y e. B ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) )
6563, 64bitri 264 . . . . . 6 |- ( A. z e. B A. w e. A ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) <-> A. x e. A A. y e. B ( x = y \/ ( C i^i D ) = (/) ) )
6665, 10syl5bb 272 . . . . 5 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( A. z e. B A. w e. A ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) <-> A. x e. A A. y e. B ( C i^i D ) = (/) ) )
6766anbi1d 741 . . . 4 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( ( A. z e. B A. w e. A ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) /\ A. z e. B A. w e. B ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) ) <-> ( A. x e. A A. y e. B ( C i^i D ) = (/) /\ A. z e. B A. w e. B ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) ) ) )
68 ralunb 3794 . . . . . 6 |- ( A. w e. ( A u. B ) ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) <-> ( A. w e. A ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) /\ A. w e. B ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) ) )
6968ralbii 2980 . . . . 5 |- ( A. z e. B A. w e. ( A u. B ) ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) <-> A. z e. B ( A. w e. A ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) /\ A. w e. B ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) ) )
70 r19.26 3064 . . . . 5 |- ( A. z e. B ( A. w e. A ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) /\ A. w e. B ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) ) <-> ( A. z e. B A. w e. A ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) /\ A. z e. B A. w e. B ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) ) )
7169, 70bitri 264 . . . 4 |- ( A. z e. B A. w e. ( A u. B ) ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) <-> ( A. z e. B A. w e. A ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) /\ A. z e. B A. w e. B ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) ) )
72 disjors 4635 . . . . 5 |- (Disj x e. B C <-> A. z e. B A. w e. B ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) )
7372anbi2ci 732 . . . 4 |- ( (Disj x e. B C /\ A. x e. A A. y e. B ( C i^i D ) = (/) ) <-> ( A. x e. A A. y e. B ( C i^i D ) = (/) /\ A. z e. B A. w e. B ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) ) )
7467, 71, 733bitr4g 303 . . 3 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( A. z e. B A. w e. ( A u. B ) ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) <-> (Disj x e. B C /\ A. x e. A A. y e. B ( C i^i D ) = (/) ) ) )
7544, 74anbi12d 747 . 2 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> ( ( A. z e. A A. w e. ( A u. B ) ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) /\ A. z e. B A. w e. ( A u. B ) ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) ) <-> ( (Disj x e. A C /\ A. x e. A A. y e. B ( C i^i D ) = (/) ) /\ (Disj x e. B C /\ A. x e. A A. y e. B ( C i^i D ) = (/) ) ) ) )
76 disjors 4635 . . 3 |- (Disj x e. ( A u. B ) C <-> A. z e. ( A u. B ) A. w e. ( A u. B ) ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) )
77 ralunb 3794 . . 3 |- ( A. z e. ( A u. B ) A. w e. ( A u. B ) ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) <-> ( A. z e. A A. w e. ( A u. B ) ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) /\ A. z e. B A. w e. ( A u. B ) ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) ) )
7876, 77bitri 264 . 2 |- (Disj x e. ( A u. B ) C <-> ( A. z e. A A. w e. ( A u. B ) ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) /\ A. z e. B A. w e. ( A u. B ) ( z = w \/ ( [_ z / x ]_ C i^i [_ w / x ]_ C ) = (/) ) ) )
79 df-3an 1039 . . 3 |- ( (Disj x e. A C /\ Disj x e. B C /\ A. x e. A A. y e. B ( C i^i D ) = (/) ) <-> ( (Disj x e. A C /\ Disj x e. B C ) /\ A. x e. A A. y e. B ( C i^i D ) = (/) ) )
80 anandir 872 . . 3 |- ( ( (Disj x e. A C /\ Disj x e. B C ) /\ A. x e. A A. y e. B ( C i^i D ) = (/) ) <-> ( (Disj x e. A C /\ A. x e. A A. y e. B ( C i^i D ) = (/) ) /\ (Disj x e. B C /\ A. x e. A A. y e. B ( C i^i D ) = (/) ) ) )
8179, 80bitri 264 . 2 |- ( (Disj x e. A C /\ Disj x e. B C /\ A. x e. A A. y e. B ( C i^i D ) = (/) ) <-> ( (Disj x e. A C /\ A. x e. A A. y e. B ( C i^i D ) = (/) ) /\ (Disj x e. B C /\ A. x e. A A. y e. B ( C i^i D ) = (/) ) ) )
8275, 78, 813bitr4g 303 1 |- ( ( A i^i B ) = (/) -> (Disj x e. ( A u. B ) C <-> (Disj x e. A C /\ Disj x e. B C /\ A. x e. A A. y e. B ( C i^i D ) = (/) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   [_csb 3533   u. cun 3572   i^i cin 3573   (/)c0 3915  Disj wdisj 4620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-nul 3916  df-disj 4621
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