Theorem carsggect 30380

Description: The outer measure is countably superadditive on Caratheodory measurable sets. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
carsgval.1	|- ( ph -> O e. V )
carsgval.2	|- ( ph -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
carsgsiga.1	|- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )
carsgsiga.2	|- ( ( ph /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P O ) -> ( M ` U. x ) <_ Σ* y e. x ( M ` y ) )
carsggect.0	|- ( ph -> -. (/) e. A )
carsggect.1	|- ( ph -> A ~<_ om )
carsggect.2	|- ( ph -> A C_ (toCaraSiga ` M ) )
carsggect.3	|- ( ph -> Disj y e. A y )
carsggect.4	|- ( ( ph /\ x C_ y /\ y e. ~P O ) -> ( M ` x ) <_ ( M ` y ) )

Assertion

Ref	Expression
carsggect	|- ( ph -> Σ* z e. A ( M ` z ) <_ ( M ` U. A ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, M, y   x, O, y   ph, x, y   z, A   z, M   z, O, x, y   ph, z

Allowed substitution hints:   V( x, y, z)

Proof of Theorem carsggect

Dummy variables f k n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		carsggect.1	. . 3 |- ( ph -> A ~<_ om )
2		0ex 4790	. . . 4 |- (/) e. _V
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> (/) e. _V )
4		carsggect.0	. . 3 |- ( ph -> -. (/) e. A )
5		padct 29497	. . 3 |- ( ( A ~<_ om /\ (/) e. _V /\ -. (/) e. A ) -> E. f ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) )
6	1, 3, 4, 5	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> E. f ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) )
7		nfv 1843	. . . . 5 |- F/ z ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) )
8		simpr1 1067	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> f : NN --> ( A u. { (/) } ) )
9	8	feqmptd 6249	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> f = ( k e. NN |-> ( f ` k ) ) )
10	9	rneqd 5353	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> ran f = ran ( k e. NN |-> ( f ` k ) ) )
11	7, 10	esumeq1d 30097	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> Σ* z e. ran f ( M ` z ) = Σ* z e. ran ( k e. NN |-> ( f ` k ) ) ( M ` z ) )
12		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- (toCaraSiga ` M ) e. _V
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> (toCaraSiga ` M ) e. _V )
14		carsggect.2	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A C_ (toCaraSiga ` M ) )
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> A C_ (toCaraSiga ` M ) )
16		carsgval.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> O e. V )
17	16	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> O e. V )
18		carsgval.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
19	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
20		carsgsiga.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( M ` (/) ) = 0 )
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> ( M ` (/) ) = 0 )
22	17, 19, 21	0elcarsg 30369	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> (/) e. (toCaraSiga ` M ) )
23	22	snssd 4340	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> { (/) } C_ (toCaraSiga ` M ) )
24	15, 23	unssd 3789	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> ( A u. { (/) } ) C_ (toCaraSiga ` M ) )
25	13, 24	ssexd 4805	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> ( A u. { (/) } ) e. _V )
26	19	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ z e. ( A u. { (/) } ) ) -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
27	16, 18	carsgcl 30366	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> (toCaraSiga ` M ) C_ ~P O )
28	14, 27	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A C_ ~P O )
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> A C_ ~P O )
30		0elpw 4834	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. ~P O
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> (/) e. ~P O )
32	31	snssd 4340	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> { (/) } C_ ~P O )
33	29, 32	unssd 3789	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> ( A u. { (/) } ) C_ ~P O )
34	33	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ z e. ( A u. { (/) } ) ) -> z e. ~P O )
35	26, 34	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ z e. ( A u. { (/) } ) ) -> ( M ` z ) e. ( 0 [,] +oo ) )
36		frn 6053	. . . . . . . . 9 |- ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) -> ran f C_ ( A u. { (/) } ) )
37	8, 36	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> ran f C_ ( A u. { (/) } ) )
38	7, 25, 35, 37	esummono 30116	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> Σ* z e. ran f ( M ` z ) <_ Σ* z e. ( A u. { (/) } ) ( M ` z ) )
39		ctex 7970	. . . . . . . . . 10 |- ( A ~<_ om -> A e. _V )
40	1, 39	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A e. _V )
41	40	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> A e. _V )
42	13, 23	ssexd 4805	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> { (/) } e. _V )
43	19	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ z e. A ) -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
44	29	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ z e. A ) -> z e. ~P O )
45	43, 44	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ z e. A ) -> ( M ` z ) e. ( 0 [,] +oo ) )
46		elsni 4194	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. { (/) } -> z = (/) )
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ z e. { (/) } ) -> z = (/) )
48	47	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ z e. { (/) } ) -> ( M ` z ) = ( M ` (/) ) )
49	21	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ z e. { (/) } ) -> ( M ` (/) ) = 0 )
50	48, 49	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ z e. { (/) } ) -> ( M ` z ) = 0 )
51	41, 42, 45, 50	esumpad 30117	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> Σ* z e. ( A u. { (/) } ) ( M ` z ) = Σ* z e. A ( M ` z ) )
52	38, 51	breqtrd 4679	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> Σ* z e. ran f ( M ` z ) <_ Σ* z e. A ( M ` z ) )
53	37, 24	sstrd 3613	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> ran f C_ (toCaraSiga ` M ) )
54		ssexg 4804	. . . . . . . 8 |- ( ( ran f C_ (toCaraSiga ` M ) /\ (toCaraSiga ` M ) e. _V ) -> ran f e. _V )
55	53, 12, 54	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> ran f e. _V )
56	19	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ z e. ran f ) -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
57	37, 33	sstrd 3613	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> ran f C_ ~P O )
58	57	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ z e. ran f ) -> z e. ~P O )
59	56, 58	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ z e. ran f ) -> ( M ` z ) e. ( 0 [,] +oo ) )
60		simpr2 1068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> A C_ ran f )
61	7, 55, 59, 60	esummono 30116	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> Σ* z e. A ( M ` z ) <_ Σ* z e. ran f ( M ` z ) )
62	52, 61	jca 554	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> (Σ* z e. ran f ( M ` z ) <_ Σ* z e. A ( M ` z ) /\ Σ* z e. A ( M ` z ) <_ Σ* z e. ran f ( M ` z ) ) )
63		iccssxr 12256	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
64	59	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> A. z e. ran f ( M ` z ) e. ( 0 [,] +oo ) )
65		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ z ran f
66	65	esumcl 30092	. . . . . . . 8 |- ( ( ran f e. _V /\ A. z e. ran f ( M ` z ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* z e. ran f ( M ` z ) e. ( 0 [,] +oo ) )
67	55, 64, 66	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> Σ* z e. ran f ( M ` z ) e. ( 0 [,] +oo ) )
68	63, 67	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> Σ* z e. ran f ( M ` z ) e. RR* )
69	45	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> A. z e. A ( M ` z ) e. ( 0 [,] +oo ) )
70		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ z A
71	70	esumcl 30092	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. _V /\ A. z e. A ( M ` z ) e. ( 0 [,] +oo ) ) -> Σ* z e. A ( M ` z ) e. ( 0 [,] +oo ) )
72	41, 69, 71	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> Σ* z e. A ( M ` z ) e. ( 0 [,] +oo ) )
73	63, 72	sseldi 3601	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> Σ* z e. A ( M ` z ) e. RR* )
74		xrletri3 11985	. . . . . 6 |- ( (Σ* z e. ran f ( M ` z ) e. RR* /\ Σ* z e. A ( M ` z ) e. RR* ) -> (Σ* z e. ran f ( M ` z ) = Σ* z e. A ( M ` z ) <-> (Σ* z e. ran f ( M ` z ) <_ Σ* z e. A ( M ` z ) /\ Σ* z e. A ( M ` z ) <_ Σ* z e. ran f ( M ` z ) ) ) )
75	68, 73, 74	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> (Σ* z e. ran f ( M ` z ) = Σ* z e. A ( M ` z ) <-> (Σ* z e. ran f ( M ` z ) <_ Σ* z e. A ( M ` z ) /\ Σ* z e. A ( M ` z ) <_ Σ* z e. ran f ( M ` z ) ) ) )
76	62, 75	mpbird 247	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> Σ* z e. ran f ( M ` z ) = Σ* z e. A ( M ` z ) )
77		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( z = ( f ` k ) -> ( M ` z ) = ( M ` ( f ` k ) ) )
78		nnex 11026	. . . . . 6 |- NN e. _V
79	78	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> NN e. _V )
80	19	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ k e. NN ) -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
81	33	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ k e. NN ) -> ( A u. { (/) } ) C_ ~P O )
82	8	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ k e. NN ) -> f : NN --> ( A u. { (/) } ) )
83		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ k e. NN ) -> k e. NN )
84	82, 83	ffvelrnd 6360	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ k e. NN ) -> ( f ` k ) e. ( A u. { (/) } ) )
85	81, 84	sseldd 3604	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ k e. NN ) -> ( f ` k ) e. ~P O )
86	80, 85	ffvelrnd 6360	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ k e. NN ) -> ( M ` ( f ` k ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
87		simpr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ k e. NN ) /\ ( f ` k ) = (/) ) -> ( f ` k ) = (/) )
88	87	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ k e. NN ) /\ ( f ` k ) = (/) ) -> ( M ` ( f ` k ) ) = ( M ` (/) ) )
89	21	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ k e. NN ) /\ ( f ` k ) = (/) ) -> ( M ` (/) ) = 0 )
90	88, 89	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ k e. NN ) /\ ( f ` k ) = (/) ) -> ( M ` ( f ` k ) ) = 0 )
91		cnvimass 5485	. . . . . . . 8 |- ( `' f " A ) C_ dom f
92	91	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> ( `' f " A ) C_ dom f )
93		fdm 6051	. . . . . . . 8 |- ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) -> dom f = NN )
94	8, 93	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> dom f = NN )
95	92, 94	sseqtrd 3641	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> ( `' f " A ) C_ NN )
96		ffun 6048	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) -> Fun f )
97	8, 96	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> Fun f )
98	97	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ k e. ( NN \ ( `' f " A ) ) ) -> Fun f )
99		difpreima 6343	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Fun f -> ( `' f " ( ( A u. { (/) } ) \ A ) ) = ( ( `' f " ( A u. { (/) } ) ) \ ( `' f " A ) ) )
100	8, 96, 99	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> ( `' f " ( ( A u. { (/) } ) \ A ) ) = ( ( `' f " ( A u. { (/) } ) ) \ ( `' f " A ) ) )
101		fimacnv 6347	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) -> ( `' f " ( A u. { (/) } ) ) = NN )
102	8, 101	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> ( `' f " ( A u. { (/) } ) ) = NN )
103	102	difeq1d 3727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> ( ( `' f " ( A u. { (/) } ) ) \ ( `' f " A ) ) = ( NN \ ( `' f " A ) ) )
104	100, 103	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> ( `' f " ( ( A u. { (/) } ) \ A ) ) = ( NN \ ( `' f " A ) ) )
105		uncom 3757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { (/) } u. A ) = ( A u. { (/) } )
106	105	difeq1i 3724	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( { (/) } u. A ) \ A ) = ( ( A u. { (/) } ) \ A )
107		difun2 4048	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( { (/) } u. A ) \ A ) = ( { (/) } \ A )
108	106, 107	eqtr3i 2646	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A u. { (/) } ) \ A ) = ( { (/) } \ A )
109		difss 3737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { (/) } \ A ) C_ { (/) }
110	108, 109	eqsstri 3635	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A u. { (/) } ) \ A ) C_ { (/) }
111	110	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> ( ( A u. { (/) } ) \ A ) C_ { (/) } )
112		sspreima 29447	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun f /\ ( ( A u. { (/) } ) \ A ) C_ { (/) } ) -> ( `' f " ( ( A u. { (/) } ) \ A ) ) C_ ( `' f " { (/) } ) )
113	97, 111, 112	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> ( `' f " ( ( A u. { (/) } ) \ A ) ) C_ ( `' f " { (/) } ) )
114	104, 113	eqsstr3d 3640	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> ( NN \ ( `' f " A ) ) C_ ( `' f " { (/) } ) )
115	114	sselda 3603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ k e. ( NN \ ( `' f " A ) ) ) -> k e. ( `' f " { (/) } ) )
116		fvimacnvi 6331	. . . . . . . . 9 |- ( ( Fun f /\ k e. ( `' f " { (/) } ) ) -> ( f ` k ) e. { (/) } )
117	98, 115, 116	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ k e. ( NN \ ( `' f " A ) ) ) -> ( f ` k ) e. { (/) } )
118		elsni 4194	. . . . . . . 8 |- ( ( f ` k ) e. { (/) } -> ( f ` k ) = (/) )
119	117, 118	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ k e. ( NN \ ( `' f " A ) ) ) -> ( f ` k ) = (/) )
120	119	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> A. k e. ( NN \ ( `' f " A ) ) ( f ` k ) = (/) )
121		carsggect.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Disj y e. A y )
122	121	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> Disj y e. A y )
123		simpr3 1069	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> Fun ( `' f |` A ) )
124		fresf1o 29433	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun f /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) -> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A )
125	97, 60, 123, 124	syl3anc 1326	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> ( f |` ( `' f " A ) ) : ( `' f " A ) -1-1-onto-> A )
126		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ y = ( ( f |` ( `' f " A ) ) ` k ) ) -> y = ( ( f |` ( `' f " A ) ) ` k ) )
127	125, 126	disjrdx 29404	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> (Disj k e. ( `' f " A ) ( ( f |` ( `' f " A ) ) ` k ) <-> Disj y e. A y ) )
128		fvres 6207	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( `' f " A ) -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) ` k ) = ( f ` k ) )
129	128	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ k e. ( `' f " A ) ) -> ( ( f |` ( `' f " A ) ) ` k ) = ( f ` k ) )
130	129	disjeq2dv 4625	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> (Disj k e. ( `' f " A ) ( ( f |` ( `' f " A ) ) ` k ) <-> Disj k e. ( `' f " A ) ( f ` k ) ) )
131	127, 130	bitr3d 270	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> (Disj y e. A y <-> Disj k e. ( `' f " A ) ( f ` k ) ) )
132	122, 131	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> Disj k e. ( `' f " A ) ( f ` k ) )
133		disjss3 4652	. . . . . . 7 |- ( ( ( `' f " A ) C_ NN /\ A. k e. ( NN \ ( `' f " A ) ) ( f ` k ) = (/) ) -> (Disj k e. ( `' f " A ) ( f ` k ) <-> Disj k e. NN ( f ` k ) ) )
134	133	biimpa 501	. . . . . 6 |- ( ( ( ( `' f " A ) C_ NN /\ A. k e. ( NN \ ( `' f " A ) ) ( f ` k ) = (/) ) /\ Disj k e. ( `' f " A ) ( f ` k ) ) -> Disj k e. NN ( f ` k ) )
135	95, 120, 132, 134	syl21anc 1325	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> Disj k e. NN ( f ` k ) )
136	77, 79, 86, 85, 90, 135	esumrnmpt2 30130	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> Σ* z e. ran ( k e. NN |-> ( f ` k ) ) ( M ` z ) = Σ* k e. NN ( M ` ( f ` k ) ) )
137	11, 76, 136	3eqtr3rd 2665	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> Σ* k e. NN ( M ` ( f ` k ) ) = Σ* z e. A ( M ` z ) )
138		uniiun 4573	. . . . . . 7 |- U. A = U_ x e. A x
139	28	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. ~P O )
140	40, 139	elpwiuncl 29359	. . . . . . 7 |- ( ph -> U_ x e. A x e. ~P O )
141	138, 140	syl5eqel 2705	. . . . . 6 |- ( ph -> U. A e. ~P O )
142	141	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> U. A e. ~P O )
143	19, 142	ffvelrnd 6360	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> ( M ` U. A ) e. ( 0 [,] +oo ) )
144		carsgsiga.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P O ) -> ( M ` U. x ) <_ Σ* y e. x ( M ` y ) )
145	144	3adant1r 1319	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P O ) -> ( M ` U. x ) <_ Σ* y e. x ( M ` y ) )
146		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( y = z -> ( M ` y ) = ( M ` z ) )
147		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z x
148		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y x
149		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ z ( M ` y )
150		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ y ( M ` z )
151	146, 147, 148, 149, 150	cbvesum 30104	. . . . . . . . 9 |- Σ* y e. x ( M ` y ) = Σ* z e. x ( M ` z )
152	145, 151	syl6breq 4694	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ x ~<_ om /\ x C_ ~P O ) -> ( M ` U. x ) <_ Σ* z e. x ( M ` z ) )
153		ffn 6045	. . . . . . . . . 10 |- ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) -> f Fn NN )
154		fz1ssnn 12372	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 ... n ) C_ NN
155		fnssres 6004	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f Fn NN /\ ( 1 ... n ) C_ NN ) -> ( f |` ( 1 ... n ) ) Fn ( 1 ... n ) )
156	154, 155	mpan2 707	. . . . . . . . . 10 |- ( f Fn NN -> ( f |` ( 1 ... n ) ) Fn ( 1 ... n ) )
157	8, 153, 156	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> ( f |` ( 1 ... n ) ) Fn ( 1 ... n ) )
158		fzfi 12771	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 ... n ) e. Fin
159		fnfi 8238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f |` ( 1 ... n ) ) Fn ( 1 ... n ) /\ ( 1 ... n ) e. Fin ) -> ( f |` ( 1 ... n ) ) e. Fin )
160	158, 159	mpan2 707	. . . . . . . . 9 |- ( ( f |` ( 1 ... n ) ) Fn ( 1 ... n ) -> ( f |` ( 1 ... n ) ) e. Fin )
161		rnfi 8249	. . . . . . . . 9 |- ( ( f |` ( 1 ... n ) ) e. Fin -> ran ( f |` ( 1 ... n ) ) e. Fin )
162	157, 160, 161	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> ran ( f |` ( 1 ... n ) ) e. Fin )
163		resss 5422	. . . . . . . . . . 11 |- ( f |` ( 1 ... n ) ) C_ f
164		rnss 5354	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( f |` ( 1 ... n ) ) C_ f -> ran ( f |` ( 1 ... n ) ) C_ ran f )
165	163, 164	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ran ( f |` ( 1 ... n ) ) C_ ran f
166	165	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> ran ( f |` ( 1 ... n ) ) C_ ran f )
167	166, 53	sstrd 3613	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> ran ( f |` ( 1 ... n ) ) C_ (toCaraSiga ` M ) )
168	166, 37	sstrd 3613	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> ran ( f |` ( 1 ... n ) ) C_ ( A u. { (/) } ) )
169		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ z y
170		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ y z
171		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = z -> y = z )
172	169, 170, 171	cbvdisj 4630	. . . . . . . . . . . 12 |- (Disj y e. A y <-> Disj z e. A z )
173		disjun0 29408	. . . . . . . . . . . 12 |- (Disj z e. A z -> Disj z e. ( A u. { (/) } ) z )
174	172, 173	sylbi 207	. . . . . . . . . . 11 |- (Disj y e. A y -> Disj z e. ( A u. { (/) } ) z )
175	121, 174	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Disj z e. ( A u. { (/) } ) z )
176	175	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> Disj z e. ( A u. { (/) } ) z )
177		disjss1 4626	. . . . . . . . 9 |- ( ran ( f |` ( 1 ... n ) ) C_ ( A u. { (/) } ) -> (Disj z e. ( A u. { (/) } ) z -> Disj z e. ran ( f |` ( 1 ... n ) ) z ) )
178	168, 176, 177	sylc 65	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> Disj z e. ran ( f |` ( 1 ... n ) ) z )
179		pwidg 4173	. . . . . . . . 9 |- ( O e. V -> O e. ~P O )
180	17, 179	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> O e. ~P O )
181	17, 19, 21, 152, 162, 167, 178, 180	carsgclctunlem1 30379	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> ( M ` ( O i^i U. ran ( f |` ( 1 ... n ) ) ) ) = Σ* z e. ran ( f |` ( 1 ... n ) ) ( M ` ( O i^i z ) ) )
182	181	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( M ` ( O i^i U. ran ( f |` ( 1 ... n ) ) ) ) = Σ* z e. ran ( f |` ( 1 ... n ) ) ( M ` ( O i^i z ) ) )
183	168	unissd 4462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> U. ran ( f |` ( 1 ... n ) ) C_ U. ( A u. { (/) } ) )
184		uniun 4456	. . . . . . . . . . . 12 |- U. ( A u. { (/) } ) = ( U. A u. U. { (/) } )
185	2	unisn 4451	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. { (/) } = (/)
186	185	uneq2i 3764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U. A u. U. { (/) } ) = ( U. A u. (/) )
187		un0 3967	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U. A u. (/) ) = U. A
188	184, 186, 187	3eqtri 2648	. . . . . . . . . . 11 |- U. ( A u. { (/) } ) = U. A
189	183, 188	syl6sseq 3651	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> U. ran ( f |` ( 1 ... n ) ) C_ U. A )
190	189	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) -> U. ran ( f |` ( 1 ... n ) ) C_ U. A )
191		uniss 4458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A C_ ~P O -> U. A C_ U. ~P O )
192		unipw 4918	. . . . . . . . . . . 12 |- U. ~P O = O
193	191, 192	syl6sseq 3651	. . . . . . . . . . 11 |- ( A C_ ~P O -> U. A C_ O )
194	28, 193	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U. A C_ O )
195	194	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) -> U. A C_ O )
196	190, 195	sstrd 3613	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) -> U. ran ( f |` ( 1 ... n ) ) C_ O )
197		sseqin2 3817	. . . . . . . 8 |- ( U. ran ( f |` ( 1 ... n ) ) C_ O <-> ( O i^i U. ran ( f |` ( 1 ... n ) ) ) = U. ran ( f |` ( 1 ... n ) ) )
198	196, 197	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( O i^i U. ran ( f |` ( 1 ... n ) ) ) = U. ran ( f |` ( 1 ... n ) ) )
199	198	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( M ` ( O i^i U. ran ( f |` ( 1 ... n ) ) ) ) = ( M ` U. ran ( f |` ( 1 ... n ) ) ) )
200		nfv 1843	. . . . . . . 8 |- F/ z ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN )
201	168	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) -> ran ( f |` ( 1 ... n ) ) C_ ( A u. { (/) } ) )
202	28	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) -> A C_ ~P O )
203	30	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) -> (/) e. ~P O )
204	203	snssd 4340	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) -> { (/) } C_ ~P O )
205	202, 204	unssd 3789	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( A u. { (/) } ) C_ ~P O )
206	201, 205	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) -> ran ( f |` ( 1 ... n ) ) C_ ~P O )
207	206	sselda 3603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) /\ z e. ran ( f |` ( 1 ... n ) ) ) -> z e. ~P O )
208	207	elpwid 4170	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) /\ z e. ran ( f |` ( 1 ... n ) ) ) -> z C_ O )
209		sseqin2 3817	. . . . . . . . . . 11 |- ( z C_ O <-> ( O i^i z ) = z )
210	208, 209	sylib 208	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) /\ z e. ran ( f |` ( 1 ... n ) ) ) -> ( O i^i z ) = z )
211	210	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) /\ z e. ran ( f |` ( 1 ... n ) ) ) -> ( M ` ( O i^i z ) ) = ( M ` z ) )
212	211	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) -> A. z e. ran ( f |` ( 1 ... n ) ) ( M ` ( O i^i z ) ) = ( M ` z ) )
213	200, 212	esumeq2d 30099	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) -> Σ* z e. ran ( f |` ( 1 ... n ) ) ( M ` ( O i^i z ) ) = Σ* z e. ran ( f |` ( 1 ... n ) ) ( M ` z ) )
214	9	reseq1d 5395	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> ( f |` ( 1 ... n ) ) = ( ( k e. NN |-> ( f ` k ) ) |` ( 1 ... n ) ) )
215	214	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( f |` ( 1 ... n ) ) = ( ( k e. NN |-> ( f ` k ) ) |` ( 1 ... n ) ) )
216		resmpt 5449	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 ... n ) C_ NN -> ( ( k e. NN |-> ( f ` k ) ) |` ( 1 ... n ) ) = ( k e. ( 1 ... n ) |-> ( f ` k ) ) )
217	154, 216	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. NN |-> ( f ` k ) ) |` ( 1 ... n ) ) = ( k e. ( 1 ... n ) |-> ( f ` k ) )
218	215, 217	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( f |` ( 1 ... n ) ) = ( k e. ( 1 ... n ) |-> ( f ` k ) ) )
219	218	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( k e. ( 1 ... n ) |-> ( f ` k ) ) = ( f |` ( 1 ... n ) ) )
220	219	rneqd 5353	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) -> ran ( k e. ( 1 ... n ) |-> ( f ` k ) ) = ran ( f |` ( 1 ... n ) ) )
221	200, 220	esumeq1d 30097	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) -> Σ* z e. ran ( k e. ( 1 ... n ) |-> ( f ` k ) ) ( M ` z ) = Σ* z e. ran ( f |` ( 1 ... n ) ) ( M ` z ) )
222	158	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( 1 ... n ) e. Fin )
223	19	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> M : ~P O --> ( 0 [,] +oo ) )
224	154	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( 1 ... n ) C_ NN )
225	224	sselda 3603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> k e. NN )
226	85	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) /\ k e. NN ) -> ( f ` k ) e. ~P O )
227	225, 226	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( f ` k ) e. ~P O )
228	223, 227	ffvelrnd 6360	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) -> ( M ` ( f ` k ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
229		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) /\ ( f ` k ) = (/) ) -> ( f ` k ) = (/) )
230	229	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) /\ ( f ` k ) = (/) ) -> ( M ` ( f ` k ) ) = ( M ` (/) ) )
231	21	ad3antrrr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) /\ ( f ` k ) = (/) ) -> ( M ` (/) ) = 0 )
232	230, 231	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) /\ k e. ( 1 ... n ) ) /\ ( f ` k ) = (/) ) -> ( M ` ( f ` k ) ) = 0 )
233		disjss1 4626	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 ... n ) C_ NN -> (Disj k e. NN ( f ` k ) -> Disj k e. ( 1 ... n ) ( f ` k ) ) )
234	154, 233	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- (Disj k e. NN ( f ` k ) -> Disj k e. ( 1 ... n ) ( f ` k ) )
235	135, 234	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> Disj k e. ( 1 ... n ) ( f ` k ) )
236	235	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) -> Disj k e. ( 1 ... n ) ( f ` k ) )
237	77, 222, 228, 227, 232, 236	esumrnmpt2 30130	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) -> Σ* z e. ran ( k e. ( 1 ... n ) |-> ( f ` k ) ) ( M ` z ) = Σ* k e. ( 1 ... n ) ( M ` ( f ` k ) ) )
238	213, 221, 237	3eqtr2d 2662	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) -> Σ* z e. ran ( f |` ( 1 ... n ) ) ( M ` ( O i^i z ) ) = Σ* k e. ( 1 ... n ) ( M ` ( f ` k ) ) )
239	182, 199, 238	3eqtr3d 2664	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( M ` U. ran ( f |` ( 1 ... n ) ) ) = Σ* k e. ( 1 ... n ) ( M ` ( f ` k ) ) )
240		carsggect.4	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x C_ y /\ y e. ~P O ) -> ( M ` x ) <_ ( M ` y ) )
241	240	3adant1r 1319	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ x C_ y /\ y e. ~P O ) -> ( M ` x ) <_ ( M ` y ) )
242	17, 19, 189, 142, 241	carsgmon 30376	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> ( M ` U. ran ( f |` ( 1 ... n ) ) ) <_ ( M ` U. A ) )
243	242	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( M ` U. ran ( f |` ( 1 ... n ) ) ) <_ ( M ` U. A ) )
244	239, 243	eqbrtrrd 4677	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) /\ n e. NN ) -> Σ* k e. ( 1 ... n ) ( M ` ( f ` k ) ) <_ ( M ` U. A ) )
245	143, 86, 244	esumgect 30152	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> Σ* k e. NN ( M ` ( f ` k ) ) <_ ( M ` U. A ) )
246	137, 245	eqbrtrrd 4677	. 2 |- ( ( ph /\ ( f : NN --> ( A u. { (/) } ) /\ A C_ ran f /\ Fun ( `' f |` A ) ) ) -> Σ* z e. A ( M ` z ) <_ ( M ` U. A ) )
247	6, 246	exlimddv 1863	1 |- ( ph -> Σ* z e. A ( M ` z ) <_ ( M ` U. A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   U.cuni 4436   U_ciun 4520  Disj wdisj 4620   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   ran crn 5115   |` cres 5116   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   +oocpnf 10071   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   NNcn 11020   [,]cicc 12178   ...cfz 12326  Σ^*cesum 30089  toCaraSigaccarsg 30363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014  ax-addf 10015  ax-mulf 10016

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-disj 4621  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-of 6897  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ioo 12179  df-ioc 12180  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-fl 12593  df-mod 12669  df-seq 12802  df-exp 12861  df-fac 13061  df-bc 13090  df-hash 13118  df-shft 13807  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-limsup 14202  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-sum 14417  df-ef 14798  df-sin 14800  df-cos 14801  df-pi 14803  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-starv 15956  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-unif 15965  df-hom 15966  df-cco 15967  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-gsum 16103  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-prds 16108  df-ordt 16161  df-xrs 16162  df-qtop 16167  df-imas 16168  df-xps 16170  df-mre 16246  df-mrc 16247  df-acs 16249  df-ps 17200  df-tsr 17201  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mulg 17541  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-cring 18550  df-subrg 18778  df-abv 18817  df-lmod 18865  df-scaf 18866  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-cnfld 19747  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lp 20940  df-perf 20941  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-haus 21119  df-tx 21365  df-hmeo 21558  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-tmd 21876  df-tgp 21877  df-tsms 21930  df-trg 21963  df-xms 22125  df-ms 22126  df-tms 22127  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-nrg 22390  df-nlm 22391  df-ii 22680  df-cncf 22681  df-limc 23630  df-dv 23631  df-log 24303  df-esum 30090  df-carsg 30364

This theorem is referenced by:  omsmeas  30385