Theorem dmtopon 20727

Description: The domain of TopOn is _V. (Contributed by BJ, 29-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dmtopon	|- dom TopOn = _V

Proof of Theorem dmtopon

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vpwex 4849	. . . 4 |- ~P x e. _V
2	1	pwex 4848	. . 3 |- ~P ~P x e. _V
3		eqcom 2629	. . . . . 6 |- ( x = U. y <-> U. y = x )
4	3	a1i 11	. . . . 5 |- ( y e. Top -> ( x = U. y <-> U. y = x ) )
5	4	rabbiia 3185	. . . 4 |- { y e. Top | x = U. y } = { y e. Top | U. y = x }
6		rabssab 3690	. . . . 5 |- { y e. Top | U. y = x } C_ { y | U. y = x }
7		pwpwssunieq 4615	. . . . 5 |- { y | U. y = x } C_ ~P ~P x
8	6, 7	sstri 3612	. . . 4 |- { y e. Top | U. y = x } C_ ~P ~P x
9	5, 8	eqsstri 3635	. . 3 |- { y e. Top | x = U. y } C_ ~P ~P x
10	2, 9	ssexi 4803	. 2 |- { y e. Top | x = U. y } e. _V
11		df-topon 20716	. 2 |- TopOn = ( x e. _V |-> { y e. Top | x = U. y } )
12	10, 11	dmmpti 6023	1 |- dom TopOn = _V

Syntax hints:   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   {crab 2916   _Vcvv 3200   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   dom cdm 5114   Topctop 20698  TopOnctopon 20715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-fun 5890  df-fn 5891  df-topon 20716

This theorem is referenced by:  fntopon  20728