Theorem eldifpw 6976

Description: Membership in a power class difference. (Contributed by NM, 25-Mar-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
eldifpw.1	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
eldifpw	|- ( ( A e. ~P B /\ -. C C_ B ) -> ( A u. C ) e. ( ~P ( B u. C ) \ ~P B ) )

Proof of Theorem eldifpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 4168	. . . 4 |- ( A e. ~P B -> A C_ B )
2		unss1 3782	. . . . 5 |- ( A C_ B -> ( A u. C ) C_ ( B u. C ) )
3		eldifpw.1	. . . . . . 7 |- C e. _V
4		unexg 6959	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ~P B /\ C e. _V ) -> ( A u. C ) e. _V )
5	3, 4	mpan2 707	. . . . . 6 |- ( A e. ~P B -> ( A u. C ) e. _V )
6		elpwg 4166	. . . . . 6 |- ( ( A u. C ) e. _V -> ( ( A u. C ) e. ~P ( B u. C ) <-> ( A u. C ) C_ ( B u. C ) ) )
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 |- ( A e. ~P B -> ( ( A u. C ) e. ~P ( B u. C ) <-> ( A u. C ) C_ ( B u. C ) ) )
8	2, 7	syl5ibr 236	. . . 4 |- ( A e. ~P B -> ( A C_ B -> ( A u. C ) e. ~P ( B u. C ) ) )
9	1, 8	mpd 15	. . 3 |- ( A e. ~P B -> ( A u. C ) e. ~P ( B u. C ) )
10		elpwi 4168	. . . . 5 |- ( ( A u. C ) e. ~P B -> ( A u. C ) C_ B )
11	10	unssbd 3791	. . . 4 |- ( ( A u. C ) e. ~P B -> C C_ B )
12	11	con3i 150	. . 3 |- ( -. C C_ B -> -. ( A u. C ) e. ~P B )
13	9, 12	anim12i 590	. 2 |- ( ( A e. ~P B /\ -. C C_ B ) -> ( ( A u. C ) e. ~P ( B u. C ) /\ -. ( A u. C ) e. ~P B ) )
14		eldif 3584	. 2 |- ( ( A u. C ) e. ( ~P ( B u. C ) \ ~P B ) <-> ( ( A u. C ) e. ~P ( B u. C ) /\ -. ( A u. C ) e. ~P B ) )
15	13, 14	sylibr 224	1 |- ( ( A e. ~P B /\ -. C C_ B ) -> ( A u. C ) e. ( ~P ( B u. C ) \ ~P B ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-uni 4437

This theorem is referenced by: (None)