Theorem eldmres 34036

Description: Elementhood in the domain of a restriction. (Contributed by Peter Mazsa, 9-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
eldmres	|- ( B e. V -> ( B e. dom ( R |` A ) <-> ( B e. A /\ E. y B R y ) ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   y, R

Allowed substitution hint:   V( y)

Proof of Theorem eldmres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldmg 5319	. 2 |- ( B e. V -> ( B e. dom ( R |` A ) <-> E. y B ( R |` A ) y ) )
2		brresALTV 34032	. . . . 5 |- ( y e. _V -> ( B ( R |` A ) y <-> ( B e. A /\ B R y ) ) )
3	2	elv 33983	. . . 4 |- ( B ( R |` A ) y <-> ( B e. A /\ B R y ) )
4	3	exbii 1774	. . 3 |- ( E. y B ( R |` A ) y <-> E. y ( B e. A /\ B R y ) )
5		19.42v 1918	. . 3 |- ( E. y ( B e. A /\ B R y ) <-> ( B e. A /\ E. y B R y ) )
6	4, 5	bitri 264	. 2 |- ( E. y B ( R |` A ) y <-> ( B e. A /\ E. y B R y ) )
7	1, 6	syl6bb 276	1 |- ( B e. V -> ( B e. dom ( R |` A ) <-> ( B e. A /\ E. y B R y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   E.wex 1704   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   |` cres 5116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-dm 5124  df-res 5126

This theorem is referenced by:  eldmres2  34038