Theorem elgrug 9614

Description: Properties of a Grothendieck universe. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elgrug	|- ( U e. V -> ( U e. Univ <-> ( Tr U /\ A. x e. U ( ~P x e. U /\ A. y e. U { x , y } e. U /\ A. y e. ( U ^m x ) U. ran y e. U ) ) ) )

Distinct variable group:   x, U, y

Allowed substitution hints:   V( x, y)

Proof of Theorem elgrug

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		treq 4758	. . 3 |- ( u = U -> ( Tr u <-> Tr U ) )
2		eleq2 2690	. . . . 5 |- ( u = U -> ( ~P x e. u <-> ~P x e. U ) )
3		eleq2 2690	. . . . . 6 |- ( u = U -> ( { x , y } e. u <-> { x , y } e. U ) )
4	3	raleqbi1dv 3146	. . . . 5 |- ( u = U -> ( A. y e. u { x , y } e. u <-> A. y e. U { x , y } e. U ) )
5		oveq1 6657	. . . . . 6 |- ( u = U -> ( u ^m x ) = ( U ^m x ) )
6		eleq2 2690	. . . . . 6 |- ( u = U -> ( U. ran y e. u <-> U. ran y e. U ) )
7	5, 6	raleqbidv 3152	. . . . 5 |- ( u = U -> ( A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u <-> A. y e. ( U ^m x ) U. ran y e. U ) )
8	2, 4, 7	3anbi123d 1399	. . . 4 |- ( u = U -> ( ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) <-> ( ~P x e. U /\ A. y e. U { x , y } e. U /\ A. y e. ( U ^m x ) U. ran y e. U ) ) )
9	8	raleqbi1dv 3146	. . 3 |- ( u = U -> ( A. x e. u ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) <-> A. x e. U ( ~P x e. U /\ A. y e. U { x , y } e. U /\ A. y e. ( U ^m x ) U. ran y e. U ) ) )
10	1, 9	anbi12d 747	. 2 |- ( u = U -> ( ( Tr u /\ A. x e. u ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) ) <-> ( Tr U /\ A. x e. U ( ~P x e. U /\ A. y e. U { x , y } e. U /\ A. y e. ( U ^m x ) U. ran y e. U ) ) ) )
11		df-gru 9613	. 2 |- Univ = { u | ( Tr u /\ A. x e. u ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) ) }
12	10, 11	elab2g 3353	1 |- ( U e. V -> ( U e. Univ <-> ( Tr U /\ A. x e. U ( ~P x e. U /\ A. y e. U { x , y } e. U /\ A. y e. ( U ^m x ) U. ran y e. U ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   ~Pcpw 4158   {cpr 4179   U.cuni 4436   Tr wtr 4752   ran crn 5115  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Univcgru 9612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-tr 4753  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-gru 9613

This theorem is referenced by:  grutr  9615  grupw  9617  grupr  9619  gruurn  9620  intgru  9636  ingru  9637  grutsk1  9643