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Theorem ingru 9637
Description: The intersection of a universe with a class that acts like a universe is another universe. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
ingru |- ( ( Tr A /\ A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) -> ( U e. Univ -> ( U i^i A ) e. Univ ) )
Distinct variable group:   x, y, A
Allowed substitution hints:   U( x, y)
Proof of Theorem ingru
Dummy variable u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ineq1 3807 . . . . 5 |- ( u = U -> ( u i^i A ) = ( U i^i A ) )
21eleq1d 2686 . . . 4 |- ( u = U -> ( ( u i^i A ) e. Univ <-> ( U i^i A ) e. Univ ) )
32imbi2d 330 . . 3 |- ( u = U -> ( ( ( Tr A /\ A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) -> ( u i^i A ) e. Univ ) <-> ( ( Tr A /\ A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) -> ( U i^i A ) e. Univ ) ) )
4 elgrug 9614 . . . . . 6 |- ( u e. Univ -> ( u e. Univ <-> ( Tr u /\ A. x e. u ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) ) ) )
54ibi 256 . . . . 5 |- ( u e. Univ -> ( Tr u /\ A. x e. u ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) ) )
6 trin 4763 . . . . . . 7 |- ( ( Tr u /\ Tr A ) -> Tr ( u i^i A ) )
76ex 450 . . . . . 6 |- ( Tr u -> ( Tr A -> Tr ( u i^i A ) ) )
8 inss1 3833 . . . . . . . 8 |- ( u i^i A ) C_ u
9 ssralv 3666 . . . . . . . 8 |- ( ( u i^i A ) C_ u -> ( A. x e. u ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) -> A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) ) )
108, 9ax-mp 5 . . . . . . 7 |- ( A. x e. u ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) -> A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) )
11 inss2 3834 . . . . . . . 8 |- ( u i^i A ) C_ A
12 ssralv 3666 . . . . . . . 8 |- ( ( u i^i A ) C_ A -> ( A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) -> A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) )
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . 7 |- ( A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) -> A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) )
14 elin 3796 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ~P x e. ( u i^i A ) <-> ( ~P x e. u /\ ~P x e. A ) )
1514simplbi2 655 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ~P x e. u -> ( ~P x e. A -> ~P x e. ( u i^i A ) ) )
16 ssralv 3666 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u i^i A ) C_ u -> ( A. y e. u { x , y } e. u -> A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. u ) )
178, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y e. u { x , y } e. u -> A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. u )
18 ssralv 3666 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u i^i A ) C_ A -> ( A. y e. A { x , y } e. A -> A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. A ) )
1911, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y e. A { x , y } e. A -> A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. A )
20 elin 3796 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( { x , y } e. ( u i^i A ) <-> ( { x , y } e. u /\ { x , y } e. A ) )
2120simplbi2 655 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { x , y } e. u -> ( { x , y } e. A -> { x , y } e. ( u i^i A ) ) )
2221ral2imi 2947 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. u -> ( A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. A -> A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) ) )
2317, 19, 22syl2im 40 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. u { x , y } e. u -> ( A. y e. A { x , y } e. A -> A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) ) )
2415, 23im2anan9 880 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u ) -> ( ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A ) -> ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) ) ) )
25 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . 14 |- u e. _V
26 mapss 7900 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. _V /\ ( u i^i A ) C_ u ) -> ( ( u i^i A ) ^m x ) C_ ( u ^m x ) )
2725, 8, 26mp2an 708 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u i^i A ) ^m x ) C_ ( u ^m x )
28 ssralv 3666 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( u i^i A ) ^m x ) C_ ( u ^m x ) -> ( A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u -> A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. u ) )
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u -> A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. u )
3025inex1 4799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( u i^i A ) e. _V
31 vex 3203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- x e. _V
3230, 31elmap 7886 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) <-> y : x --> ( u i^i A ) )
33 fss 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y : x --> ( u i^i A ) /\ ( u i^i A ) C_ A ) -> y : x --> A )
3411, 33mpan2 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y : x --> ( u i^i A ) -> y : x --> A )
3532, 34sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) -> y : x --> A )
3635imim1i 63 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) -> ( y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) -> U. ran y e. A ) )
3736alimi 1739 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) -> A. y ( y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) -> U. ran y e. A ) )
38 df-ral 2917 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. A <-> A. y ( y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) -> U. ran y e. A ) )
3937, 38sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) -> A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. A )
40 elin 3796 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( U. ran y e. ( u i^i A ) <-> ( U. ran y e. u /\ U. ran y e. A ) )
4140simplbi2 655 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( U. ran y e. u -> ( U. ran y e. A -> U. ran y e. ( u i^i A ) ) )
4241ral2imi 2947 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. u -> ( A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. A -> A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) )
4329, 39, 42syl2im 40 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u -> ( A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) -> A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) )
4424, 43im2anan9 880 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u ) /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) -> ( ( ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A ) /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) -> ( ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) )
45443impa 1259 . . . . . . . . 9 |- ( ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) -> ( ( ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A ) /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) -> ( ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) )
46 df-3an 1039 . . . . . . . . 9 |- ( ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) <-> ( ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A ) /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) )
47 df-3an 1039 . . . . . . . . 9 |- ( ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) <-> ( ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) )
4845, 46, 473imtr4g 285 . . . . . . . 8 |- ( ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) -> ( ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) -> ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) )
4948ral2imi 2947 . . . . . . 7 |- ( A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) -> ( A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) -> A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) )
5010, 13, 49syl2im 40 . . . . . 6 |- ( A. x e. u ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) -> ( A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) -> A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) )
517, 50im2anan9 880 . . . . 5 |- ( ( Tr u /\ A. x e. u ( ~P x e. u /\ A. y e. u { x , y } e. u /\ A. y e. ( u ^m x ) U. ran y e. u ) ) -> ( ( Tr A /\ A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) -> ( Tr ( u i^i A ) /\ A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) ) )
525, 51syl 17 . . . 4 |- ( u e. Univ -> ( ( Tr A /\ A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) -> ( Tr ( u i^i A ) /\ A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) ) )
53 elgrug 9614 . . . . 5 |- ( ( u i^i A ) e. _V -> ( ( u i^i A ) e. Univ <-> ( Tr ( u i^i A ) /\ A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) ) )
5430, 53ax-mp 5 . . . 4 |- ( ( u i^i A ) e. Univ <-> ( Tr ( u i^i A ) /\ A. x e. ( u i^i A ) ( ~P x e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( u i^i A ) { x , y } e. ( u i^i A ) /\ A. y e. ( ( u i^i A ) ^m x ) U. ran y e. ( u i^i A ) ) ) )
5552, 54syl6ibr 242 . . 3 |- ( u e. Univ -> ( ( Tr A /\ A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) -> ( u i^i A ) e. Univ ) )
563, 55vtoclga 3272 . 2 |- ( U e. Univ -> ( ( Tr A /\ A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) -> ( U i^i A ) e. Univ ) )
5756com12 32 1 |- ( ( Tr A /\ A. x e. A ( ~P x e. A /\ A. y e. A { x , y } e. A /\ A. y ( y : x --> A -> U. ran y e. A ) ) ) -> ( U e. Univ -> ( U i^i A ) e. Univ ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   {cpr 4179   U.cuni 4436   Tr wtr 4752   ran crn 5115   -->wf 5884  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Univcgru 9612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-gru 9613
This theorem is referenced by:  wfgru  9638
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