Theorem gruurn 9620

Description: A Grothendieck universe contains the range of any function which takes values in the universe (see gruiun 9621 for a more intuitive version). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
gruurn	|- ( ( U e. Univ /\ A e. U /\ F : A --> U ) -> U. ran F e. U )

Proof of Theorem gruurn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapg 7870	. . 3 |- ( ( U e. Univ /\ A e. U ) -> ( F e. ( U ^m A ) <-> F : A --> U ) )
2		elgrug 9614	. . . . . . 7 |- ( U e. Univ -> ( U e. Univ <-> ( Tr U /\ A. x e. U ( ~P x e. U /\ A. y e. U { x , y } e. U /\ A. y e. ( U ^m x ) U. ran y e. U ) ) ) )
3	2	ibi 256	. . . . . 6 |- ( U e. Univ -> ( Tr U /\ A. x e. U ( ~P x e. U /\ A. y e. U { x , y } e. U /\ A. y e. ( U ^m x ) U. ran y e. U ) ) )
4	3	simprd 479	. . . . 5 |- ( U e. Univ -> A. x e. U ( ~P x e. U /\ A. y e. U { x , y } e. U /\ A. y e. ( U ^m x ) U. ran y e. U ) )
5		rneq 5351	. . . . . . . . . 10 |- ( y = F -> ran y = ran F )
6	5	unieqd 4446	. . . . . . . . 9 |- ( y = F -> U. ran y = U. ran F )
7	6	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( y = F -> ( U. ran y e. U <-> U. ran F e. U ) )
8	7	rspccv 3306	. . . . . . 7 |- ( A. y e. ( U ^m x ) U. ran y e. U -> ( F e. ( U ^m x ) -> U. ran F e. U ) )
9	8	3ad2ant3 1084	. . . . . 6 |- ( ( ~P x e. U /\ A. y e. U { x , y } e. U /\ A. y e. ( U ^m x ) U. ran y e. U ) -> ( F e. ( U ^m x ) -> U. ran F e. U ) )
10	9	ralimi 2952	. . . . 5 |- ( A. x e. U ( ~P x e. U /\ A. y e. U { x , y } e. U /\ A. y e. ( U ^m x ) U. ran y e. U ) -> A. x e. U ( F e. ( U ^m x ) -> U. ran F e. U ) )
11		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( U ^m x ) = ( U ^m A ) )
12	11	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( F e. ( U ^m x ) <-> F e. ( U ^m A ) ) )
13	12	imbi1d 331	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( ( F e. ( U ^m x ) -> U. ran F e. U ) <-> ( F e. ( U ^m A ) -> U. ran F e. U ) ) )
14	13	rspccv 3306	. . . . 5 |- ( A. x e. U ( F e. ( U ^m x ) -> U. ran F e. U ) -> ( A e. U -> ( F e. ( U ^m A ) -> U. ran F e. U ) ) )
15	4, 10, 14	3syl 18	. . . 4 |- ( U e. Univ -> ( A e. U -> ( F e. ( U ^m A ) -> U. ran F e. U ) ) )
16	15	imp 445	. . 3 |- ( ( U e. Univ /\ A e. U ) -> ( F e. ( U ^m A ) -> U. ran F e. U ) )
17	1, 16	sylbird 250	. 2 |- ( ( U e. Univ /\ A e. U ) -> ( F : A --> U -> U. ran F e. U ) )
18	17	3impia 1261	1 |- ( ( U e. Univ /\ A e. U /\ F : A --> U ) -> U. ran F e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   ~Pcpw 4158   {cpr 4179   U.cuni 4436   Tr wtr 4752   ran crn 5115   -->wf 5884  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Univcgru 9612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-gru 9613

This theorem is referenced by:  gruiun  9621  grurn  9623  intgru  9636