Theorem elinintrab 37883

Description: Two ways of saying a set is an element of the intersection of a class with the intersection of a class. (Contributed by RP, 14-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
elinintrab	|- ( A e. V -> ( A e. |^| { w e. ~P B | E. x ( w = ( B i^i x ) /\ ph ) } <-> ( ( E. x ph -> A e. B ) /\ A. x ( ph -> A e. x ) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, w   x, w, A   w, B, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   V( x, w)

Proof of Theorem elinintrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. . . 4 |- x e. _V
2	1	inex2 4800	. . 3 |- ( B i^i x ) e. _V
3		inss1 3833	. . 3 |- ( B i^i x ) C_ B
4	2, 3	elmapintrab 37882	. 2 |- ( A e. V -> ( A e. |^| { w e. ~P B | E. x ( w = ( B i^i x ) /\ ph ) } <-> ( ( E. x ph -> A e. B ) /\ A. x ( ph -> A e. ( B i^i x ) ) ) ) )
5		elin 3796	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( B i^i x ) <-> ( A e. B /\ A e. x ) )
6	5	imbi2i 326	. . . . . . 7 |- ( ( ph -> A e. ( B i^i x ) ) <-> ( ph -> ( A e. B /\ A e. x ) ) )
7		jcab 907	. . . . . . 7 |- ( ( ph -> ( A e. B /\ A e. x ) ) <-> ( ( ph -> A e. B ) /\ ( ph -> A e. x ) ) )
8	6, 7	bitri 264	. . . . . 6 |- ( ( ph -> A e. ( B i^i x ) ) <-> ( ( ph -> A e. B ) /\ ( ph -> A e. x ) ) )
9	8	albii 1747	. . . . 5 |- ( A. x ( ph -> A e. ( B i^i x ) ) <-> A. x ( ( ph -> A e. B ) /\ ( ph -> A e. x ) ) )
10		19.26 1798	. . . . . 6 |- ( A. x ( ( ph -> A e. B ) /\ ( ph -> A e. x ) ) <-> ( A. x ( ph -> A e. B ) /\ A. x ( ph -> A e. x ) ) )
11		19.23v 1902	. . . . . . 7 |- ( A. x ( ph -> A e. B ) <-> ( E. x ph -> A e. B ) )
12	11	anbi1i 731	. . . . . 6 |- ( ( A. x ( ph -> A e. B ) /\ A. x ( ph -> A e. x ) ) <-> ( ( E. x ph -> A e. B ) /\ A. x ( ph -> A e. x ) ) )
13	10, 12	bitri 264	. . . . 5 |- ( A. x ( ( ph -> A e. B ) /\ ( ph -> A e. x ) ) <-> ( ( E. x ph -> A e. B ) /\ A. x ( ph -> A e. x ) ) )
14	9, 13	bitri 264	. . . 4 |- ( A. x ( ph -> A e. ( B i^i x ) ) <-> ( ( E. x ph -> A e. B ) /\ A. x ( ph -> A e. x ) ) )
15	14	anbi2i 730	. . 3 |- ( ( ( E. x ph -> A e. B ) /\ A. x ( ph -> A e. ( B i^i x ) ) ) <-> ( ( E. x ph -> A e. B ) /\ ( ( E. x ph -> A e. B ) /\ A. x ( ph -> A e. x ) ) ) )
16		anabs5 851	. . 3 |- ( ( ( E. x ph -> A e. B ) /\ ( ( E. x ph -> A e. B ) /\ A. x ( ph -> A e. x ) ) ) <-> ( ( E. x ph -> A e. B ) /\ A. x ( ph -> A e. x ) ) )
17	15, 16	bitri 264	. 2 |- ( ( ( E. x ph -> A e. B ) /\ A. x ( ph -> A e. ( B i^i x ) ) ) <-> ( ( E. x ph -> A e. B ) /\ A. x ( ph -> A e. x ) ) )
18	4, 17	syl6bb 276	1 |- ( A e. V -> ( A e. |^| { w e. ~P B | E. x ( w = ( B i^i x ) /\ ph ) } <-> ( ( E. x ph -> A e. B ) /\ A. x ( ph -> A e. x ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {crab 2916   i^i cin 3573   ~Pcpw 4158   |^|cint 4475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rab 2921  df-v 3202  df-in 3581  df-ss 3588  df-pw 4160  df-int 4476

This theorem is referenced by:  inintabss  37884  inintabd  37885