Theorem elmapintrab 37882

Description: Two ways to say a set is an element of the intersection of a class of images. (Contributed by RP, 16-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
elmapintrab.ex	|- C e. _V
elmapintrab.sub	|- C C_ B

Assertion

Ref	Expression
elmapintrab	|- ( A e. V -> ( A e. |^| { w e. ~P B | E. x ( w = C /\ ph ) } <-> ( ( E. x ph -> A e. B ) /\ A. x ( ph -> A e. C ) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, w   x, w, A   w, B, x   w, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   C( x)   V( x, w)

Proof of Theorem elmapintrab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elintrabg 4489	. . 3 |- ( A e. V -> ( A e. |^| { w e. ~P B | E. x ( w = C /\ ph ) } <-> A. w e. ~P B ( E. x ( w = C /\ ph ) -> A e. w ) ) )
2		df-ral 2917	. . 3 |- ( A. w e. ~P B ( E. x ( w = C /\ ph ) -> A e. w ) <-> A. w ( w e. ~P B -> ( E. x ( w = C /\ ph ) -> A e. w ) ) )
3	1, 2	syl6bb 276	. 2 |- ( A e. V -> ( A e. |^| { w e. ~P B | E. x ( w = C /\ ph ) } <-> A. w ( w e. ~P B -> ( E. x ( w = C /\ ph ) -> A e. w ) ) ) )
4		selpw 4165	. . . . . 6 |- ( w e. ~P B <-> w C_ B )
5		19.23v 1902	. . . . . . 7 |- ( A. x ( ( w = C /\ ph ) -> A e. w ) <-> ( E. x ( w = C /\ ph ) -> A e. w ) )
6	5	bicomi 214	. . . . . 6 |- ( ( E. x ( w = C /\ ph ) -> A e. w ) <-> A. x ( ( w = C /\ ph ) -> A e. w ) )
7	4, 6	imbi12i 340	. . . . 5 |- ( ( w e. ~P B -> ( E. x ( w = C /\ ph ) -> A e. w ) ) <-> ( w C_ B -> A. x ( ( w = C /\ ph ) -> A e. w ) ) )
8		19.21v 1868	. . . . 5 |- ( A. x ( w C_ B -> ( ( w = C /\ ph ) -> A e. w ) ) <-> ( w C_ B -> A. x ( ( w = C /\ ph ) -> A e. w ) ) )
9		bi2.04 376	. . . . . . 7 |- ( ( w C_ B -> ( ( w = C /\ ph ) -> A e. w ) ) <-> ( ( w = C /\ ph ) -> ( w C_ B -> A e. w ) ) )
10		impexp 462	. . . . . . 7 |- ( ( ( w = C /\ ph ) -> ( w C_ B -> A e. w ) ) <-> ( w = C -> ( ph -> ( w C_ B -> A e. w ) ) ) )
11	9, 10	bitri 264	. . . . . 6 |- ( ( w C_ B -> ( ( w = C /\ ph ) -> A e. w ) ) <-> ( w = C -> ( ph -> ( w C_ B -> A e. w ) ) ) )
12	11	albii 1747	. . . . 5 |- ( A. x ( w C_ B -> ( ( w = C /\ ph ) -> A e. w ) ) <-> A. x ( w = C -> ( ph -> ( w C_ B -> A e. w ) ) ) )
13	7, 8, 12	3bitr2i 288	. . . 4 |- ( ( w e. ~P B -> ( E. x ( w = C /\ ph ) -> A e. w ) ) <-> A. x ( w = C -> ( ph -> ( w C_ B -> A e. w ) ) ) )
14	13	albii 1747	. . 3 |- ( A. w ( w e. ~P B -> ( E. x ( w = C /\ ph ) -> A e. w ) ) <-> A. w A. x ( w = C -> ( ph -> ( w C_ B -> A e. w ) ) ) )
15		alcom 2037	. . 3 |- ( A. w A. x ( w = C -> ( ph -> ( w C_ B -> A e. w ) ) ) <-> A. x A. w ( w = C -> ( ph -> ( w C_ B -> A e. w ) ) ) )
16		elmapintrab.ex	. . . . . . 7 |- C e. _V
17		sseq1 3626	. . . . . . . . 9 |- ( w = C -> ( w C_ B <-> C C_ B ) )
18		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( w = C -> ( A e. w <-> A e. C ) )
19		elmapintrab.sub	. . . . . . . . . . . 12 |- C C_ B
20	19	sseli 3599	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. C -> A e. B )
21	20	pm4.71ri 665	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. C <-> ( A e. B /\ A e. C ) )
22	18, 21	syl6bb 276	. . . . . . . . 9 |- ( w = C -> ( A e. w <-> ( A e. B /\ A e. C ) ) )
23	17, 22	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( w = C -> ( ( w C_ B -> A e. w ) <-> ( C C_ B -> ( A e. B /\ A e. C ) ) ) )
24	23	imbi2d 330	. . . . . . 7 |- ( w = C -> ( ( ph -> ( w C_ B -> A e. w ) ) <-> ( ph -> ( C C_ B -> ( A e. B /\ A e. C ) ) ) ) )
25	16, 24	ceqsalv 3233	. . . . . 6 |- ( A. w ( w = C -> ( ph -> ( w C_ B -> A e. w ) ) ) <-> ( ph -> ( C C_ B -> ( A e. B /\ A e. C ) ) ) )
26		bi2.04 376	. . . . . 6 |- ( ( ph -> ( C C_ B -> ( A e. B /\ A e. C ) ) ) <-> ( C C_ B -> ( ph -> ( A e. B /\ A e. C ) ) ) )
27		pm5.5 351	. . . . . . . 8 |- ( C C_ B -> ( ( C C_ B -> ( ph -> ( A e. B /\ A e. C ) ) ) <-> ( ph -> ( A e. B /\ A e. C ) ) ) )
28	19, 27	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- ( ( C C_ B -> ( ph -> ( A e. B /\ A e. C ) ) ) <-> ( ph -> ( A e. B /\ A e. C ) ) )
29		jcab 907	. . . . . . 7 |- ( ( ph -> ( A e. B /\ A e. C ) ) <-> ( ( ph -> A e. B ) /\ ( ph -> A e. C ) ) )
30	28, 29	bitri 264	. . . . . 6 |- ( ( C C_ B -> ( ph -> ( A e. B /\ A e. C ) ) ) <-> ( ( ph -> A e. B ) /\ ( ph -> A e. C ) ) )
31	25, 26, 30	3bitri 286	. . . . 5 |- ( A. w ( w = C -> ( ph -> ( w C_ B -> A e. w ) ) ) <-> ( ( ph -> A e. B ) /\ ( ph -> A e. C ) ) )
32	31	albii 1747	. . . 4 |- ( A. x A. w ( w = C -> ( ph -> ( w C_ B -> A e. w ) ) ) <-> A. x ( ( ph -> A e. B ) /\ ( ph -> A e. C ) ) )
33		19.26 1798	. . . 4 |- ( A. x ( ( ph -> A e. B ) /\ ( ph -> A e. C ) ) <-> ( A. x ( ph -> A e. B ) /\ A. x ( ph -> A e. C ) ) )
34		19.23v 1902	. . . . 5 |- ( A. x ( ph -> A e. B ) <-> ( E. x ph -> A e. B ) )
35	34	anbi1i 731	. . . 4 |- ( ( A. x ( ph -> A e. B ) /\ A. x ( ph -> A e. C ) ) <-> ( ( E. x ph -> A e. B ) /\ A. x ( ph -> A e. C ) ) )
36	32, 33, 35	3bitri 286	. . 3 |- ( A. x A. w ( w = C -> ( ph -> ( w C_ B -> A e. w ) ) ) <-> ( ( E. x ph -> A e. B ) /\ A. x ( ph -> A e. C ) ) )
37	14, 15, 36	3bitri 286	. 2 |- ( A. w ( w e. ~P B -> ( E. x ( w = C /\ ph ) -> A e. w ) ) <-> ( ( E. x ph -> A e. B ) /\ A. x ( ph -> A e. C ) ) )
38	3, 37	syl6bb 276	1 |- ( A e. V -> ( A e. |^| { w e. ~P B | E. x ( w = C /\ ph ) } <-> ( ( E. x ph -> A e. B ) /\ A. x ( ph -> A e. C ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   |^|cint 4475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rab 2921  df-v 3202  df-in 3581  df-ss 3588  df-pw 4160  df-int 4476

This theorem is referenced by:  elinintrab  37883  cnvcnvintabd  37906  cnvintabd  37909