Theorem elintfv 31662

Description: Membership in an intersection of function values. (Contributed by Scott Fenton, 9-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
elintfv.1	|- X e. _V

Assertion

Ref	Expression
elintfv	|- ( ( F Fn A /\ B C_ A ) -> ( X e. |^| ( F " B ) <-> A. y e. B X e. ( F ` y ) ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   y, F   y, X

Proof of Theorem elintfv

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elintfv.1	. . 3 |- X e. _V
2	1	elint 4481	. 2 |- ( X e. |^| ( F " B ) <-> A. z ( z e. ( F " B ) -> X e. z ) )
3		ssel2 3598	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B C_ A /\ y e. B ) -> y e. A )
4		fnbrfvb 6236	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F Fn A /\ y e. A ) -> ( ( F ` y ) = z <-> y F z ) )
5	3, 4	sylan2 491	. . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn A /\ ( B C_ A /\ y e. B ) ) -> ( ( F ` y ) = z <-> y F z ) )
6	5	anassrs 680	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F Fn A /\ B C_ A ) /\ y e. B ) -> ( ( F ` y ) = z <-> y F z ) )
7	6	rexbidva 3049	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn A /\ B C_ A ) -> ( E. y e. B ( F ` y ) = z <-> E. y e. B y F z ) )
8		vex 3203	. . . . . . . 8 |- z e. _V
9	8	elima 5471	. . . . . . 7 |- ( z e. ( F " B ) <-> E. y e. B y F z )
10	7, 9	syl6rbbr 279	. . . . . 6 |- ( ( F Fn A /\ B C_ A ) -> ( z e. ( F " B ) <-> E. y e. B ( F ` y ) = z ) )
11	10	imbi1d 331	. . . . 5 |- ( ( F Fn A /\ B C_ A ) -> ( ( z e. ( F " B ) -> X e. z ) <-> ( E. y e. B ( F ` y ) = z -> X e. z ) ) )
12		r19.23v 3023	. . . . 5 |- ( A. y e. B ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) <-> ( E. y e. B ( F ` y ) = z -> X e. z ) )
13	11, 12	syl6bbr 278	. . . 4 |- ( ( F Fn A /\ B C_ A ) -> ( ( z e. ( F " B ) -> X e. z ) <-> A. y e. B ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) ) )
14	13	albidv 1849	. . 3 |- ( ( F Fn A /\ B C_ A ) -> ( A. z ( z e. ( F " B ) -> X e. z ) <-> A. z A. y e. B ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) ) )
15		ralcom4 3224	. . . 4 |- ( A. y e. B A. z ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) <-> A. z A. y e. B ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) )
16		eqcom 2629	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` y ) = z <-> z = ( F ` y ) )
17	16	imbi1i 339	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) <-> ( z = ( F ` y ) -> X e. z ) )
18	17	albii 1747	. . . . . 6 |- ( A. z ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) <-> A. z ( z = ( F ` y ) -> X e. z ) )
19		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( F ` y ) e. _V
20		eleq2 2690	. . . . . . 7 |- ( z = ( F ` y ) -> ( X e. z <-> X e. ( F ` y ) ) )
21	19, 20	ceqsalv 3233	. . . . . 6 |- ( A. z ( z = ( F ` y ) -> X e. z ) <-> X e. ( F ` y ) )
22	18, 21	bitri 264	. . . . 5 |- ( A. z ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) <-> X e. ( F ` y ) )
23	22	ralbii 2980	. . . 4 |- ( A. y e. B A. z ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) <-> A. y e. B X e. ( F ` y ) )
24	15, 23	bitr3i 266	. . 3 |- ( A. z A. y e. B ( ( F ` y ) = z -> X e. z ) <-> A. y e. B X e. ( F ` y ) )
25	14, 24	syl6bb 276	. 2 |- ( ( F Fn A /\ B C_ A ) -> ( A. z ( z e. ( F " B ) -> X e. z ) <-> A. y e. B X e. ( F ` y ) ) )
26	2, 25	syl5bb 272	1 |- ( ( F Fn A /\ B C_ A ) -> ( X e. |^| ( F " B ) <-> A. y e. B X e. ( F ` y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   |^|cint 4475   class class class wbr 4653   "cima 5117   Fn wfn 5883   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-fv 5896

This theorem is referenced by: (None)