Theorem eliuniincex 39292

Description: Counterexample to show that the additional conditions in eliuniin 39279 and eliuniin2 39303 are actually needed. Notice that the definition of A is not even needed (it can be any class). (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliuniincex.1	|- B = { (/) }
eliuniincex.2	|- C = (/)
eliuniincex.3	|- D = (/)
eliuniincex.4	|- Z = _V

Assertion

Ref	Expression
eliuniincex	|- -. ( Z e. A <-> E. x e. B A. y e. C Z e. D )

Distinct variable groups:   x, B   y, C   x, Z

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( y)   C( x)   D( x, y)   Z( y)

Proof of Theorem eliuniincex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliuniincex.4	. . 3 |- Z = _V
2		nvel 4797	. . 3 |- -. _V e. A
3	1, 2	eqneltri 39246	. 2 |- -. Z e. A
4		0ex 4790	. . . . 5 |- (/) e. _V
5	4	snid 4208	. . . 4 |- (/) e. { (/) }
6		eliuniincex.1	. . . 4 |- B = { (/) }
7	5, 6	eleqtrri 2700	. . 3 |- (/) e. B
8		ral0 4076	. . 3 |- A. y e. (/) Z e. D
9		nfcv 2764	. . . . 5 |- F/_ x (/)
10		nfcv 2764	. . . . . 6 |- F/_ x Z
11		eliuniincex.3	. . . . . . 7 |- D = (/)
12	11, 9	nfcxfr 2762	. . . . . 6 |- F/_ x D
13	10, 12	nfel 2777	. . . . 5 |- F/ x Z e. D
14	9, 13	nfral 2945	. . . 4 |- F/ x A. y e. (/) Z e. D
15		eliuniincex.2	. . . . . 6 |- C = (/)
16	15	raleqi 3142	. . . . 5 |- ( A. y e. C Z e. D <-> A. y e. (/) Z e. D )
17	16	a1i 11	. . . 4 |- ( x = (/) -> ( A. y e. C Z e. D <-> A. y e. (/) Z e. D ) )
18	14, 17	rspce 3304	. . 3 |- ( ( (/) e. B /\ A. y e. (/) Z e. D ) -> E. x e. B A. y e. C Z e. D )
19	7, 8, 18	mp2an 708	. 2 |- E. x e. B A. y e. C Z e. D
20		pm3.22 465	. . . 4 |- ( ( -. Z e. A /\ E. x e. B A. y e. C Z e. D ) -> ( E. x e. B A. y e. C Z e. D /\ -. Z e. A ) )
21	20	olcd 408	. . 3 |- ( ( -. Z e. A /\ E. x e. B A. y e. C Z e. D ) -> ( ( Z e. A /\ -. E. x e. B A. y e. C Z e. D ) \/ ( E. x e. B A. y e. C Z e. D /\ -. Z e. A ) ) )
22		xor 935	. . 3 |- ( -. ( Z e. A <-> E. x e. B A. y e. C Z e. D ) <-> ( ( Z e. A /\ -. E. x e. B A. y e. C Z e. D ) \/ ( E. x e. B A. y e. C Z e. D /\ -. Z e. A ) ) )
23	21, 22	sylibr 224	. 2 |- ( ( -. Z e. A /\ E. x e. B A. y e. C Z e. D ) -> -. ( Z e. A <-> E. x e. B A. y e. C Z e. D ) )
24	3, 19, 23	mp2an 708	1 |- -. ( Z e. A <-> E. x e. B A. y e. C Z e. D )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   {csn 4177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-nul 3916  df-sn 4178

This theorem is referenced by: (None)