Theorem elsnres 5436

Description: Membership in restriction to a singleton. (Contributed by Scott Fenton, 17-Mar-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
elsnres.1	|- C e. _V

Assertion

Ref	Expression
elsnres	|- ( A e. ( B |` { C } ) <-> E. y ( A = <. C , y >. /\ <. C , y >. e. B ) )

Distinct variable groups:   y, A   y, B   y, C

Proof of Theorem elsnres

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elres 5435	. 2 |- ( A e. ( B |` { C } ) <-> E. x e. { C } E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) )
2		rexcom4 3225	. 2 |- ( E. x e. { C } E. y ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> E. y E. x e. { C } ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) )
3		elsnres.1	. . . 4 |- C e. _V
4		opeq1 4402	. . . . . 6 |- ( x = C -> <. x , y >. = <. C , y >. )
5	4	eqeq2d 2632	. . . . 5 |- ( x = C -> ( A = <. x , y >. <-> A = <. C , y >. ) )
6	4	eleq1d 2686	. . . . 5 |- ( x = C -> ( <. x , y >. e. B <-> <. C , y >. e. B ) )
7	5, 6	anbi12d 747	. . . 4 |- ( x = C -> ( ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> ( A = <. C , y >. /\ <. C , y >. e. B ) ) )
8	3, 7	rexsn 4223	. . 3 |- ( E. x e. { C } ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> ( A = <. C , y >. /\ <. C , y >. e. B ) )
9	8	exbii 1774	. 2 |- ( E. y E. x e. { C } ( A = <. x , y >. /\ <. x , y >. e. B ) <-> E. y ( A = <. C , y >. /\ <. C , y >. e. B ) )
10	1, 2, 9	3bitri 286	1 |- ( A e. ( B |` { C } ) <-> E. y ( A = <. C , y >. /\ <. C , y >. e. B ) )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   {csn 4177   <.cop 4183   |` cres 5116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-res 5126

This theorem is referenced by:  fvn0ssdmfun  6350  frxp  7287