Theorem enssdom 7980

Description: Equinumerosity implies dominance. (Contributed by NM, 31-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
enssdom	|- ~~ C_ ~<_

Proof of Theorem enssdom

Dummy variables x y f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 7960	. 2 |- Rel ~~
2		f1of1 6136	. . . . 5 |- ( f : x -1-1-onto-> y -> f : x -1-1-> y )
3	2	eximi 1762	. . . 4 |- ( E. f f : x -1-1-onto-> y -> E. f f : x -1-1-> y )
4		opabid 4982	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y } <-> E. f f : x -1-1-onto-> y )
5		opabid 4982	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-> y } <-> E. f f : x -1-1-> y )
6	3, 4, 5	3imtr4i 281	. . 3 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y } -> <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-> y } )
7		df-en 7956	. . . 4 |- ~~ = { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y }
8	7	eleq2i 2693	. . 3 |- ( <. x , y >. e. ~~ <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y } )
9		df-dom 7957	. . . 4 |- ~<_ = { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-> y }
10	9	eleq2i 2693	. . 3 |- ( <. x , y >. e. ~<_ <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-> y } )
11	6, 8, 10	3imtr4i 281	. 2 |- ( <. x , y >. e. ~~ -> <. x , y >. e. ~<_ )
12	1, 11	relssi 5211	1 |- ~~ C_ ~<_

Syntax hints:   E.wex 1704   e. wcel 1990   C_ wss 3574   <.cop 4183   {copab 4712   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ~~ cen 7952   ~<_ cdom 7953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-f1o 5895  df-en 7956  df-dom 7957

This theorem is referenced by:  dfdom2  7981  endom  7982