Theorem f10d 6170

Description: The empty set maps one-to-one into any class, deduction version. (Contributed by AV, 25-Nov-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
f10d.f	|- ( ph -> F = (/) )

Assertion

Ref	Expression
f10d	|- ( ph -> F : dom F -1-1-> A )

Proof of Theorem f10d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f10 6169	. . 3 |- (/) : (/) -1-1-> A
2		dm0 5339	. . . 4 |- dom (/) = (/)
3		f1eq2 6097	. . . 4 |- ( dom (/) = (/) -> ( (/) : dom (/) -1-1-> A <-> (/) : (/) -1-1-> A ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 |- ( (/) : dom (/) -1-1-> A <-> (/) : (/) -1-1-> A )
5	1, 4	mpbir 221	. 2 |- (/) : dom (/) -1-1-> A
6		f10d.f	. . 3 |- ( ph -> F = (/) )
7	6	dmeqd 5326	. . 3 |- ( ph -> dom F = dom (/) )
8		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> A = A )
9	6, 7, 8	f1eq123d 6131	. 2 |- ( ph -> ( F : dom F -1-1-> A <-> (/) : dom (/) -1-1-> A ) )
10	5, 9	mpbiri 248	1 |- ( ph -> F : dom F -1-1-> A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   (/)c0 3915   dom cdm 5114   -1-1->wf1 5885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893

This theorem is referenced by:  umgr0e  26005  usgr0e  26128