Theorem f1o2sn 6408

Description: A singleton with a nested ordered pair is a one-to-one function of the cartesian product of two singleton onto a singleton. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
f1o2sn	|- ( ( E e. V /\ X e. W ) -> { <. <. E , E >. , X >. } : ( { E } X. { E } ) -1-1-onto-> { X } )

Proof of Theorem f1o2sn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 4932	. . 3 |- <. E , E >. e. _V
2		simpr 477	. . 3 |- ( ( E e. V /\ X e. W ) -> X e. W )
3		f1osng 6177	. . 3 |- ( ( <. E , E >. e. _V /\ X e. W ) -> { <. <. E , E >. , X >. } : { <. E , E >. } -1-1-onto-> { X } )
4	1, 2, 3	sylancr 695	. 2 |- ( ( E e. V /\ X e. W ) -> { <. <. E , E >. , X >. } : { <. E , E >. } -1-1-onto-> { X } )
5		xpsng 6406	. . . . . 6 |- ( ( E e. V /\ E e. V ) -> ( { E } X. { E } ) = { <. E , E >. } )
6	5	anidms 677	. . . . 5 |- ( E e. V -> ( { E } X. { E } ) = { <. E , E >. } )
7	6	eqcomd 2628	. . . 4 |- ( E e. V -> { <. E , E >. } = ( { E } X. { E } ) )
8	7	adantr 481	. . 3 |- ( ( E e. V /\ X e. W ) -> { <. E , E >. } = ( { E } X. { E } ) )
9		f1oeq2 6128	. . 3 |- ( { <. E , E >. } = ( { E } X. { E } ) -> ( { <. <. E , E >. , X >. } : { <. E , E >. } -1-1-onto-> { X } <-> { <. <. E , E >. , X >. } : ( { E } X. { E } ) -1-1-onto-> { X } ) )
10	8, 9	syl 17	. 2 |- ( ( E e. V /\ X e. W ) -> ( { <. <. E , E >. , X >. } : { <. E , E >. } -1-1-onto-> { X } <-> { <. <. E , E >. , X >. } : ( { E } X. { E } ) -1-1-onto-> { X } ) )
11	4, 10	mpbid 222	1 |- ( ( E e. V /\ X e. W ) -> { <. <. E , E >. , X >. } : ( { E } X. { E } ) -1-1-onto-> { X } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   {csn 4177   <.cop 4183   X. cxp 5112   -1-1-onto->wf1o 5887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895

This theorem is referenced by:  mat1dimelbas  20277