Theorem mat1dimelbas 20277

Description: A matrix with dimension 1 is an ordered pair with an ordered pair (of the one and only pair of indices) as first component. (Contributed by AV, 15-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mat1dim.a	|- A = ( { E } Mat R )
mat1dim.b	|- B = ( Base ` R )
mat1dim.o	|- O = <. E , E >.

Assertion

Ref	Expression
mat1dimelbas	|- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( M e. ( Base ` A ) <-> E. r e. B M = { <. O , r >. } ) )

Distinct variable groups:   B, r   E, r   M, r   R, r   V, r

Allowed substitution hints:   A( r)   O( r)

Proof of Theorem mat1dimelbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snfi 8038	. . . 4 |- { E } e. Fin
2		simpl 473	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> R e. Ring )
3		mat1dim.a	. . . . . . 7 |- A = ( { E } Mat R )
4		mat1dim.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` R )
5	3, 4	matbas2 20227	. . . . . 6 |- ( ( { E } e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( B ^m ( { E } X. { E } ) ) = ( Base ` A ) )
6	5	eqcomd 2628	. . . . 5 |- ( ( { E } e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( Base ` A ) = ( B ^m ( { E } X. { E } ) ) )
7	6	eleq2d 2687	. . . 4 |- ( ( { E } e. Fin /\ R e. Ring ) -> ( M e. ( Base ` A ) <-> M e. ( B ^m ( { E } X. { E } ) ) ) )
8	1, 2, 7	sylancr 695	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( M e. ( Base ` A ) <-> M e. ( B ^m ( { E } X. { E } ) ) ) )
9		fvex 6201	. . . . 5 |- ( Base ` R ) e. _V
10	4, 9	eqeltri 2697	. . . 4 |- B e. _V
11		snex 4908	. . . . . 6 |- { E } e. _V
12	11, 11	pm3.2i 471	. . . . 5 |- ( { E } e. _V /\ { E } e. _V )
13		xpexg 6960	. . . . 5 |- ( ( { E } e. _V /\ { E } e. _V ) -> ( { E } X. { E } ) e. _V )
14	12, 13	mp1i 13	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( { E } X. { E } ) e. _V )
15		elmapg 7870	. . . 4 |- ( ( B e. _V /\ ( { E } X. { E } ) e. _V ) -> ( M e. ( B ^m ( { E } X. { E } ) ) <-> M : ( { E } X. { E } ) --> B ) )
16	10, 14, 15	sylancr 695	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( M e. ( B ^m ( { E } X. { E } ) ) <-> M : ( { E } X. { E } ) --> B ) )
17	8, 16	bitrd 268	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( M e. ( Base ` A ) <-> M : ( { E } X. { E } ) --> B ) )
18		xpsng 6406	. . . . . . . 8 |- ( ( E e. V /\ E e. V ) -> ( { E } X. { E } ) = { <. E , E >. } )
19	18	anidms 677	. . . . . . 7 |- ( E e. V -> ( { E } X. { E } ) = { <. E , E >. } )
20	19	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( { E } X. { E } ) = { <. E , E >. } )
21	20	feq2d 6031	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( M : ( { E } X. { E } ) --> B <-> M : { <. E , E >. } --> B ) )
22		opex 4932	. . . . . . 7 |- <. E , E >. e. _V
23	22	fsn2 6403	. . . . . 6 |- ( M : { <. E , E >. } --> B <-> ( ( M ` <. E , E >. ) e. B /\ M = { <. <. E , E >. , ( M ` <. E , E >. ) >. } ) )
24		risset 3062	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M ` <. E , E >. ) e. B <-> E. r e. B r = ( M ` <. E , E >. ) )
25		eqcom 2629	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = ( M ` <. E , E >. ) <-> ( M ` <. E , E >. ) = r )
26	25	rexbii 3041	. . . . . . . . . 10 |- ( E. r e. B r = ( M ` <. E , E >. ) <-> E. r e. B ( M ` <. E , E >. ) = r )
27	24, 26	sylbb 209	. . . . . . . . 9 |- ( ( M ` <. E , E >. ) e. B -> E. r e. B ( M ` <. E , E >. ) = r )
28	27	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( ( M ` <. E , E >. ) e. B /\ M = { <. <. E , E >. , ( M ` <. E , E >. ) >. } ) ) -> E. r e. B ( M ` <. E , E >. ) = r )
29		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M = { <. <. E , E >. , ( M ` <. E , E >. ) >. } -> ( M = { <. <. E , E >. , r >. } <-> { <. <. E , E >. , ( M ` <. E , E >. ) >. } = { <. <. E , E >. , r >. } ) )
30		opex 4932	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- <. <. E , E >. , ( M ` <. E , E >. ) >. e. _V
31		sneqbg 4374	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <. <. E , E >. , ( M ` <. E , E >. ) >. e. _V -> ( { <. <. E , E >. , ( M ` <. E , E >. ) >. } = { <. <. E , E >. , r >. } <-> <. <. E , E >. , ( M ` <. E , E >. ) >. = <. <. E , E >. , r >. ) )
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( { <. <. E , E >. , ( M ` <. E , E >. ) >. } = { <. <. E , E >. , r >. } <-> <. <. E , E >. , ( M ` <. E , E >. ) >. = <. <. E , E >. , r >. )
33		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- <. E , E >. = <. E , E >.
34		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- r e. _V
35	22, 34	opth2 4949	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <. <. E , E >. , ( M ` <. E , E >. ) >. = <. <. E , E >. , r >. <-> ( <. E , E >. = <. E , E >. /\ ( M ` <. E , E >. ) = r ) )
36	33, 35	mpbiran 953	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. <. E , E >. , ( M ` <. E , E >. ) >. = <. <. E , E >. , r >. <-> ( M ` <. E , E >. ) = r )
37	32, 36	bitri 264	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { <. <. E , E >. , ( M ` <. E , E >. ) >. } = { <. <. E , E >. , r >. } <-> ( M ` <. E , E >. ) = r )
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M = { <. <. E , E >. , ( M ` <. E , E >. ) >. } -> ( { <. <. E , E >. , ( M ` <. E , E >. ) >. } = { <. <. E , E >. , r >. } <-> ( M ` <. E , E >. ) = r ) )
39	29, 38	bitrd 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( M = { <. <. E , E >. , ( M ` <. E , E >. ) >. } -> ( M = { <. <. E , E >. , r >. } <-> ( M ` <. E , E >. ) = r ) )
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M ` <. E , E >. ) e. B /\ M = { <. <. E , E >. , ( M ` <. E , E >. ) >. } ) -> ( M = { <. <. E , E >. , r >. } <-> ( M ` <. E , E >. ) = r ) )
41	40	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( ( M ` <. E , E >. ) e. B /\ M = { <. <. E , E >. , ( M ` <. E , E >. ) >. } ) ) -> ( M = { <. <. E , E >. , r >. } <-> ( M ` <. E , E >. ) = r ) )
42	41	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( ( M ` <. E , E >. ) e. B /\ M = { <. <. E , E >. , ( M ` <. E , E >. ) >. } ) ) -> ( E. r e. B M = { <. <. E , E >. , r >. } <-> E. r e. B ( M ` <. E , E >. ) = r ) )
43	28, 42	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ ( ( M ` <. E , E >. ) e. B /\ M = { <. <. E , E >. , ( M ` <. E , E >. ) >. } ) ) -> E. r e. B M = { <. <. E , E >. , r >. } )
44	43	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( ( ( M ` <. E , E >. ) e. B /\ M = { <. <. E , E >. , ( M ` <. E , E >. ) >. } ) -> E. r e. B M = { <. <. E , E >. , r >. } ) )
45	23, 44	syl5bi 232	. . . . 5 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( M : { <. E , E >. } --> B -> E. r e. B M = { <. <. E , E >. , r >. } ) )
46	21, 45	sylbid 230	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( M : ( { E } X. { E } ) --> B -> E. r e. B M = { <. <. E , E >. , r >. } ) )
47		f1o2sn 6408	. . . . . . . . 9 |- ( ( E e. V /\ r e. B ) -> { <. <. E , E >. , r >. } : ( { E } X. { E } ) -1-1-onto-> { r } )
48		f1of 6137	. . . . . . . . 9 |- ( { <. <. E , E >. , r >. } : ( { E } X. { E } ) -1-1-onto-> { r } -> { <. <. E , E >. , r >. } : ( { E } X. { E } ) --> { r } )
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( E e. V /\ r e. B ) -> { <. <. E , E >. , r >. } : ( { E } X. { E } ) --> { r } )
50	49	adantll 750	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ r e. B ) -> { <. <. E , E >. , r >. } : ( { E } X. { E } ) --> { r } )
51		snssi 4339	. . . . . . . 8 |- ( r e. B -> { r } C_ B )
52	51	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ r e. B ) -> { r } C_ B )
53	50, 52	fssd 6057	. . . . . 6 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ r e. B ) -> { <. <. E , E >. , r >. } : ( { E } X. { E } ) --> B )
54		feq1 6026	. . . . . 6 |- ( M = { <. <. E , E >. , r >. } -> ( M : ( { E } X. { E } ) --> B <-> { <. <. E , E >. , r >. } : ( { E } X. { E } ) --> B ) )
55	53, 54	syl5ibrcom 237	. . . . 5 |- ( ( ( R e. Ring /\ E e. V ) /\ r e. B ) -> ( M = { <. <. E , E >. , r >. } -> M : ( { E } X. { E } ) --> B ) )
56	55	rexlimdva 3031	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( E. r e. B M = { <. <. E , E >. , r >. } -> M : ( { E } X. { E } ) --> B ) )
57	46, 56	impbid 202	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( M : ( { E } X. { E } ) --> B <-> E. r e. B M = { <. <. E , E >. , r >. } ) )
58		mat1dim.o	. . . . . . . . 9 |- O = <. E , E >.
59	58	eqcomi 2631	. . . . . . . 8 |- <. E , E >. = O
60	59	opeq1i 4405	. . . . . . 7 |- <. <. E , E >. , r >. = <. O , r >.
61	60	sneqi 4188	. . . . . 6 |- { <. <. E , E >. , r >. } = { <. O , r >. }
62	61	eqeq2i 2634	. . . . 5 |- ( M = { <. <. E , E >. , r >. } <-> M = { <. O , r >. } )
63	62	a1i 11	. . . 4 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( M = { <. <. E , E >. , r >. } <-> M = { <. O , r >. } ) )
64	63	rexbidv 3052	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( E. r e. B M = { <. <. E , E >. , r >. } <-> E. r e. B M = { <. O , r >. } ) )
65	57, 64	bitrd 268	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( M : ( { E } X. { E } ) --> B <-> E. r e. B M = { <. O , r >. } ) )
66	17, 65	bitrd 268	1 |- ( ( R e. Ring /\ E e. V ) -> ( M e. ( Base ` A ) <-> E. r e. B M = { <. O , r >. } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   <.cop 4183   X. cxp 5112   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   Fincfn 7955   Basecbs 15857   Ringcrg 18547   Mat cmat 20213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fsupp 8276  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-hom 15966  df-cco 15967  df-0g 16102  df-prds 16108  df-pws 16110  df-sra 19172  df-rgmod 19173  df-dsmm 20076  df-frlm 20091  df-mat 20214

This theorem is referenced by:  mat1dimbas  20278  mat1dimcrng  20283  mat1scmat  20345