Theorem fiinbas 20756

Description: If a set is closed under finite intersection, then it is a basis for a topology. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
fiinbas	|- ( ( B e. C /\ A. x e. B A. y e. B ( x i^i y ) e. B ) -> B e. TopBases )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, C, y

Proof of Theorem fiinbas

Dummy variables w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3624	. . . . . . . 8 |- ( x i^i y ) C_ ( x i^i y )
2		eleq2 2690	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( x i^i y ) -> ( z e. w <-> z e. ( x i^i y ) ) )
3		sseq1 3626	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( x i^i y ) -> ( w C_ ( x i^i y ) <-> ( x i^i y ) C_ ( x i^i y ) ) )
4	2, 3	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( x i^i y ) -> ( ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) <-> ( z e. ( x i^i y ) /\ ( x i^i y ) C_ ( x i^i y ) ) ) )
5	4	rspcev 3309	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x i^i y ) e. B /\ ( z e. ( x i^i y ) /\ ( x i^i y ) C_ ( x i^i y ) ) ) -> E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
6	1, 5	mpanr2 720	. . . . . . 7 |- ( ( ( x i^i y ) e. B /\ z e. ( x i^i y ) ) -> E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
7	6	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ( x i^i y ) e. B -> A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) )
8	7	a1i 11	. . . . 5 |- ( B e. C -> ( ( x i^i y ) e. B -> A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
9	8	ralimdv 2963	. . . 4 |- ( B e. C -> ( A. y e. B ( x i^i y ) e. B -> A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
10	9	ralimdv 2963	. . 3 |- ( B e. C -> ( A. x e. B A. y e. B ( x i^i y ) e. B -> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
11		isbasis2g 20752	. . 3 |- ( B e. C -> ( B e. TopBases <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. ( x i^i y ) E. w e. B ( z e. w /\ w C_ ( x i^i y ) ) ) )
12	10, 11	sylibrd 249	. 2 |- ( B e. C -> ( A. x e. B A. y e. B ( x i^i y ) e. B -> B e. TopBases ) )
13	12	imp 445	1 |- ( ( B e. C /\ A. x e. B A. y e. B ( x i^i y ) e. B ) -> B e. TopBases )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   TopBasesctb 20749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-in 3581  df-ss 3588  df-pw 4160  df-uni 4437  df-bases 20750

This theorem is referenced by:  fibas  20781  qtopbaslem  22562  ontopbas  32427  isbasisrelowl  33206