Theorem qtopbaslem 22562

Description: The set of open intervals with endpoints in a subset forms a basis for a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
qtopbas.1	|- S C_ RR*

Assertion

Ref	Expression
qtopbaslem	|- ( (,) " ( S X. S ) ) e. TopBases

Proof of Theorem qtopbaslem

Dummy variables u t v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooex 12198	. . . 4 |- (,) e. _V
2	1	rnex 7100	. . 3 |- ran (,) e. _V
3		imassrn 5477	. . 3 |- ( (,) " ( S X. S ) ) C_ ran (,)
4	2, 3	ssexi 4803	. 2 |- ( (,) " ( S X. S ) ) e. _V
5		qtopbas.1	. . . . . . . . 9 |- S C_ RR*
6	5	sseli 3599	. . . . . . . 8 |- ( z e. S -> z e. RR* )
7	5	sseli 3599	. . . . . . . 8 |- ( w e. S -> w e. RR* )
8	6, 7	anim12i 590	. . . . . . 7 |- ( ( z e. S /\ w e. S ) -> ( z e. RR* /\ w e. RR* ) )
9	5	sseli 3599	. . . . . . . 8 |- ( v e. S -> v e. RR* )
10	5	sseli 3599	. . . . . . . 8 |- ( u e. S -> u e. RR* )
11	9, 10	anim12i 590	. . . . . . 7 |- ( ( v e. S /\ u e. S ) -> ( v e. RR* /\ u e. RR* ) )
12		iooin 12209	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e. RR* /\ w e. RR* ) /\ ( v e. RR* /\ u e. RR* ) ) -> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) = ( if ( z <_ v , v , z ) (,) if ( w <_ u , w , u ) ) )
13	8, 11, 12	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. S /\ w e. S ) /\ ( v e. S /\ u e. S ) ) -> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) = ( if ( z <_ v , v , z ) (,) if ( w <_ u , w , u ) ) )
14		ifcl 4130	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. S /\ z e. S ) -> if ( z <_ v , v , z ) e. S )
15	14	ancoms 469	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. S /\ v e. S ) -> if ( z <_ v , v , z ) e. S )
16		ifcl 4130	. . . . . . . 8 |- ( ( w e. S /\ u e. S ) -> if ( w <_ u , w , u ) e. S )
17		df-ov 6653	. . . . . . . . 9 |- ( if ( z <_ v , v , z ) (,) if ( w <_ u , w , u ) ) = ( (,) ` <. if ( z <_ v , v , z ) , if ( w <_ u , w , u ) >. )
18		opelxpi 5148	. . . . . . . . . 10 |- ( ( if ( z <_ v , v , z ) e. S /\ if ( w <_ u , w , u ) e. S ) -> <. if ( z <_ v , v , z ) , if ( w <_ u , w , u ) >. e. ( S X. S ) )
19		ioof 12271	. . . . . . . . . . . 12 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR
20		ffun 6048	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> Fun (,) )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 |- Fun (,)
22		xpss12 5225	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S C_ RR* /\ S C_ RR* ) -> ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* ) )
23	5, 5, 22	mp2an 708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* )
24	19	fdmi 6052	. . . . . . . . . . . 12 |- dom (,) = ( RR* X. RR* )
25	23, 24	sseqtr4i 3638	. . . . . . . . . . 11 |- ( S X. S ) C_ dom (,)
26		funfvima2 6493	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Fun (,) /\ ( S X. S ) C_ dom (,) ) -> ( <. if ( z <_ v , v , z ) , if ( w <_ u , w , u ) >. e. ( S X. S ) -> ( (,) ` <. if ( z <_ v , v , z ) , if ( w <_ u , w , u ) >. ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
27	21, 25, 26	mp2an 708	. . . . . . . . . 10 |- ( <. if ( z <_ v , v , z ) , if ( w <_ u , w , u ) >. e. ( S X. S ) -> ( (,) ` <. if ( z <_ v , v , z ) , if ( w <_ u , w , u ) >. ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
28	18, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( if ( z <_ v , v , z ) e. S /\ if ( w <_ u , w , u ) e. S ) -> ( (,) ` <. if ( z <_ v , v , z ) , if ( w <_ u , w , u ) >. ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
29	17, 28	syl5eqel 2705	. . . . . . . 8 |- ( ( if ( z <_ v , v , z ) e. S /\ if ( w <_ u , w , u ) e. S ) -> ( if ( z <_ v , v , z ) (,) if ( w <_ u , w , u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
30	15, 16, 29	syl2an 494	. . . . . . 7 |- ( ( ( z e. S /\ v e. S ) /\ ( w e. S /\ u e. S ) ) -> ( if ( z <_ v , v , z ) (,) if ( w <_ u , w , u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
31	30	an4s 869	. . . . . 6 |- ( ( ( z e. S /\ w e. S ) /\ ( v e. S /\ u e. S ) ) -> ( if ( z <_ v , v , z ) (,) if ( w <_ u , w , u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
32	13, 31	eqeltrd 2701	. . . . 5 |- ( ( ( z e. S /\ w e. S ) /\ ( v e. S /\ u e. S ) ) -> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
33	32	ralrimivva 2971	. . . 4 |- ( ( z e. S /\ w e. S ) -> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
34	33	rgen2a 2977	. . 3 |- A. z e. S A. w e. S A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) )
35		ffn 6045	. . . . . 6 |- ( (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR -> (,) Fn ( RR* X. RR* ) )
36	19, 35	ax-mp 5	. . . . 5 |- (,) Fn ( RR* X. RR* )
37		ineq1 3807	. . . . . . . 8 |- ( x = ( (,) ` t ) -> ( x i^i y ) = ( ( (,) ` t ) i^i y ) )
38	37	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( x = ( (,) ` t ) -> ( ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
39	38	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( x = ( (,) ` t ) -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
40	39	ralima 6498	. . . . 5 |- ( ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) /\ ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* ) ) -> ( A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
41	36, 23, 40	mp2an 708	. . . 4 |- ( A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
42		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( t = <. z , w >. -> ( (,) ` t ) = ( (,) ` <. z , w >. ) )
43		df-ov 6653	. . . . . . . . . 10 |- ( z (,) w ) = ( (,) ` <. z , w >. )
44	42, 43	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9 |- ( t = <. z , w >. -> ( (,) ` t ) = ( z (,) w ) )
45	44	ineq1d 3813	. . . . . . . 8 |- ( t = <. z , w >. -> ( ( (,) ` t ) i^i y ) = ( ( z (,) w ) i^i y ) )
46	45	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( t = <. z , w >. -> ( ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
47	46	ralbidv 2986	. . . . . 6 |- ( t = <. z , w >. -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
48		ineq2 3808	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( (,) ` t ) -> ( ( z (,) w ) i^i y ) = ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) )
49	48	eleq1d 2686	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( (,) ` t ) -> ( ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
50	49	ralima 6498	. . . . . . . 8 |- ( ( (,) Fn ( RR* X. RR* ) /\ ( S X. S ) C_ ( RR* X. RR* ) ) -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
51	36, 23, 50	mp2an 708	. . . . . . 7 |- ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. t e. ( S X. S ) ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
52		fveq2 6191	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = <. v , u >. -> ( (,) ` t ) = ( (,) ` <. v , u >. ) )
53		df-ov 6653	. . . . . . . . . . 11 |- ( v (,) u ) = ( (,) ` <. v , u >. )
54	52, 53	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . 10 |- ( t = <. v , u >. -> ( (,) ` t ) = ( v (,) u ) )
55	54	ineq2d 3814	. . . . . . . . 9 |- ( t = <. v , u >. -> ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) = ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) )
56	55	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( t = <. v , u >. -> ( ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
57	56	ralxp 5263	. . . . . . 7 |- ( A. t e. ( S X. S ) ( ( z (,) w ) i^i ( (,) ` t ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
58	51, 57	bitri 264	. . . . . 6 |- ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( z (,) w ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
59	47, 58	syl6bb 276	. . . . 5 |- ( t = <. z , w >. -> ( A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) )
60	59	ralxp 5263	. . . 4 |- ( A. t e. ( S X. S ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( ( (,) ` t ) i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. z e. S A. w e. S A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
61	41, 60	bitri 264	. . 3 |- ( A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) <-> A. z e. S A. w e. S A. v e. S A. u e. S ( ( z (,) w ) i^i ( v (,) u ) ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) )
62	34, 61	mpbir 221	. 2 |- A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) )
63		fiinbas 20756	. 2 |- ( ( ( (,) " ( S X. S ) ) e. _V /\ A. x e. ( (,) " ( S X. S ) ) A. y e. ( (,) " ( S X. S ) ) ( x i^i y ) e. ( (,) " ( S X. S ) ) ) -> ( (,) " ( S X. S ) ) e. TopBases )
64	4, 62, 63	mp2an 708	1 |- ( (,) " ( S X. S ) ) e. TopBases

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   <.cop 4183   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   "cima 5117   Fun wfun 5882   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   RR*cxr 10073   <_ cle 10075   (,)cioo 12175   TopBasesctb 20749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ioo 12179  df-bases 20750

This theorem is referenced by:  qtopbas  22563  retopbas  22564