Theorem isbasisrelowl 33206

Description: The set of all closed-below, open-above intervals of reals form a basis. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
isbasisrelowl.1	|- I = ( [,) " ( RR X. RR ) )

Assertion

Ref	Expression
isbasisrelowl	|- I e. TopBases

Proof of Theorem isbasisrelowl

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isbasisrelowl.1	. . 3 |- I = ( [,) " ( RR X. RR ) )
2		df-ico 12181	. . . . 5 |- [,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x <_ z /\ z < y ) } )
3	2	ixxex 12186	. . . 4 |- [,) e. _V
4		imaexg 7103	. . . 4 |- ( [,) e. _V -> ( [,) " ( RR X. RR ) ) e. _V )
5	3, 4	ax-mp 5	. . 3 |- ( [,) " ( RR X. RR ) ) e. _V
6	1, 5	eqeltri 2697	. 2 |- I e. _V
7	1	icoreclin 33205	. . 3 |- ( ( x e. I /\ y e. I ) -> ( x i^i y ) e. I )
8	7	rgen2a 2977	. 2 |- A. x e. I A. y e. I ( x i^i y ) e. I
9		fiinbas 20756	. 2 |- ( ( I e. _V /\ A. x e. I A. y e. I ( x i^i y ) e. I ) -> I e. TopBases )
10	6, 8, 9	mp2an 708	1 |- I e. TopBases

Syntax hints:   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   X. cxp 5112   "cima 5117   RRcr 9935   < clt 10074   <_ cle 10075   [,)cico 12177   TopBasesctb 20749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-ico 12181  df-bases 20750

This theorem is referenced by:  istoprelowl  33208