Theorem frminex 5094

Description: If an element of a well-founded set satisfies a property ph, then there is a minimal element that satisfies ph. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
frminex.1	|- A e. _V
frminex.2	|- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
frminex	|- ( R Fr A -> ( E. x e. A ph -> E. x e. A ( ph /\ A. y e. A ( ps -> -. y R x ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   x, R, y   ph, y   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)

Proof of Theorem frminex

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rabn0 3958	. 2 |- ( { x e. A | ph } =/= (/) <-> E. x e. A ph )
2		frminex.1	. . . . 5 |- A e. _V
3	2	rabex 4813	. . . 4 |- { x e. A | ph } e. _V
4		ssrab2 3687	. . . 4 |- { x e. A | ph } C_ A
5		fri 5076	. . . . . 6 |- ( ( ( { x e. A | ph } e. _V /\ R Fr A ) /\ ( { x e. A | ph } C_ A /\ { x e. A | ph } =/= (/) ) ) -> E. z e. { x e. A | ph } A. y e. { x e. A | ph } -. y R z )
6		frminex.2	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ph <-> ps ) )
7	6	ralrab 3368	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. { x e. A | ph } -. y R z <-> A. y e. A ( ps -> -. y R z ) )
8	7	rexbii 3041	. . . . . . 7 |- ( E. z e. { x e. A | ph } A. y e. { x e. A | ph } -. y R z <-> E. z e. { x e. A | ph } A. y e. A ( ps -> -. y R z ) )
9		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = x -> ( y R z <-> y R x ) )
10	9	notbid 308	. . . . . . . . . 10 |- ( z = x -> ( -. y R z <-> -. y R x ) )
11	10	imbi2d 330	. . . . . . . . 9 |- ( z = x -> ( ( ps -> -. y R z ) <-> ( ps -> -. y R x ) ) )
12	11	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 |- ( z = x -> ( A. y e. A ( ps -> -. y R z ) <-> A. y e. A ( ps -> -. y R x ) ) )
13	12	rexrab2 3374	. . . . . . 7 |- ( E. z e. { x e. A | ph } A. y e. A ( ps -> -. y R z ) <-> E. x e. A ( ph /\ A. y e. A ( ps -> -. y R x ) ) )
14	8, 13	bitri 264	. . . . . 6 |- ( E. z e. { x e. A | ph } A. y e. { x e. A | ph } -. y R z <-> E. x e. A ( ph /\ A. y e. A ( ps -> -. y R x ) ) )
15	5, 14	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ( { x e. A | ph } e. _V /\ R Fr A ) /\ ( { x e. A | ph } C_ A /\ { x e. A | ph } =/= (/) ) ) -> E. x e. A ( ph /\ A. y e. A ( ps -> -. y R x ) ) )
16	15	an4s 869	. . . 4 |- ( ( ( { x e. A | ph } e. _V /\ { x e. A | ph } C_ A ) /\ ( R Fr A /\ { x e. A | ph } =/= (/) ) ) -> E. x e. A ( ph /\ A. y e. A ( ps -> -. y R x ) ) )
17	3, 4, 16	mpanl12 718	. . 3 |- ( ( R Fr A /\ { x e. A | ph } =/= (/) ) -> E. x e. A ( ph /\ A. y e. A ( ps -> -. y R x ) ) )
18	17	ex 450	. 2 |- ( R Fr A -> ( { x e. A | ph } =/= (/) -> E. x e. A ( ph /\ A. y e. A ( ps -> -. y R x ) ) ) )
19	1, 18	syl5bir 233	1 |- ( R Fr A -> ( E. x e. A ph -> E. x e. A ( ph /\ A. y e. A ( ps -> -. y R x ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   Fr wfr 5070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-fr 5073

This theorem is referenced by: (None)