Theorem grprinvlem 6872

Description: Lemma for grprinvd 6873. (Contributed by NM, 9-Aug-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
grprinvlem.c	|- ( ( ph /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .+ y ) e. B )
grprinvlem.o	|- ( ph -> O e. B )
grprinvlem.i	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( O .+ x ) = x )
grprinvlem.a	|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
grprinvlem.n	|- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. y e. B ( y .+ x ) = O )
grprinvlem.x	|- ( ( ph /\ ps ) -> X e. B )
grprinvlem.e	|- ( ( ph /\ ps ) -> ( X .+ X ) = X )

Assertion

Ref	Expression
grprinvlem	|- ( ( ph /\ ps ) -> X = O )

Distinct variable groups:   x, y, z, B   x, O, y, z   ph, x, y, z   x, .+ , y, z   y, X, z   ps, y

Allowed substitution hints:   ps( x, z)   X( x)

Proof of Theorem grprinvlem

Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grprinvlem.n	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> E. y e. B ( y .+ x ) = O )
2	1	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. B E. y e. B ( y .+ x ) = O )
3		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( x = z -> ( y .+ x ) = ( y .+ z ) )
4	3	eqeq1d 2624	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( y .+ x ) = O <-> ( y .+ z ) = O ) )
5	4	rexbidv 3052	. . . . 5 |- ( x = z -> ( E. y e. B ( y .+ x ) = O <-> E. y e. B ( y .+ z ) = O ) )
6	5	cbvralv 3171	. . . 4 |- ( A. x e. B E. y e. B ( y .+ x ) = O <-> A. z e. B E. y e. B ( y .+ z ) = O )
7	2, 6	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> A. z e. B E. y e. B ( y .+ z ) = O )
8		grprinvlem.x	. . 3 |- ( ( ph /\ ps ) -> X e. B )
9		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( z = X -> ( y .+ z ) = ( y .+ X ) )
10	9	eqeq1d 2624	. . . . 5 |- ( z = X -> ( ( y .+ z ) = O <-> ( y .+ X ) = O ) )
11	10	rexbidv 3052	. . . 4 |- ( z = X -> ( E. y e. B ( y .+ z ) = O <-> E. y e. B ( y .+ X ) = O ) )
12	11	rspccva 3308	. . 3 |- ( ( A. z e. B E. y e. B ( y .+ z ) = O /\ X e. B ) -> E. y e. B ( y .+ X ) = O )
13	7, 8, 12	syl2an2r 876	. 2 |- ( ( ph /\ ps ) -> E. y e. B ( y .+ X ) = O )
14		grprinvlem.e	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( X .+ X ) = X )
15	14	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( y .+ ( X .+ X ) ) = ( y .+ X ) )
16	15	adantr 481	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( y .+ ( X .+ X ) ) = ( y .+ X ) )
17		simprr 796	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( y .+ X ) = O )
18	17	oveq1d 6665	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( ( y .+ X ) .+ X ) = ( O .+ X ) )
19		grprinvlem.a	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( x .+ y ) .+ z ) = ( x .+ ( y .+ z ) ) )
20	19	caovassg 6832	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
21	20	ad4ant14 1293	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u .+ v ) .+ w ) = ( u .+ ( v .+ w ) ) )
22		simprl 794	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> y e. B )
23	8	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> X e. B )
24	21, 22, 23, 23	caovassd 6833	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( ( y .+ X ) .+ X ) = ( y .+ ( X .+ X ) ) )
25		oveq2 6658	. . . . . . 7 |- ( y = X -> ( O .+ y ) = ( O .+ X ) )
26		id 22	. . . . . . 7 |- ( y = X -> y = X )
27	25, 26	eqeq12d 2637	. . . . . 6 |- ( y = X -> ( ( O .+ y ) = y <-> ( O .+ X ) = X ) )
28		grprinvlem.i	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( O .+ x ) = x )
29	28	ralrimiva 2966	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. B ( O .+ x ) = x )
30		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( O .+ x ) = ( O .+ y ) )
31		id 22	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> x = y )
32	30, 31	eqeq12d 2637	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( O .+ x ) = x <-> ( O .+ y ) = y ) )
33	32	cbvralv 3171	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. B ( O .+ x ) = x <-> A. y e. B ( O .+ y ) = y )
34	29, 33	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y e. B ( O .+ y ) = y )
35	34	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ps ) -> A. y e. B ( O .+ y ) = y )
36	27, 35, 8	rspcdva 3316	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ps ) -> ( O .+ X ) = X )
37	36	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( O .+ X ) = X )
38	18, 24, 37	3eqtr3d 2664	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> ( y .+ ( X .+ X ) ) = X )
39	16, 38, 17	3eqtr3d 2664	. 2 |- ( ( ( ph /\ ps ) /\ ( y e. B /\ ( y .+ X ) = O ) ) -> X = O )
40	13, 39	rexlimddv 3035	1 |- ( ( ph /\ ps ) -> X = O )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913  (class class class)co 6650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653

This theorem is referenced by:  grprinvd  6873