Theorem hvmapffval 37047

Description: Map from nonzero vectors to nonzero functionals in the closed kernel dual space. (Contributed by NM, 23-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
hvmapval.h	|- H = ( LHyp ` K )

Assertion

Ref	Expression
hvmapffval	|- ( K e. X -> (HVMap ` K ) = ( w e. H |-> ( x e. ( ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) \ { ( 0g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) } ) |-> ( v e. ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) |-> ( iota_ j e. ( Base ` (Scalar ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ) E. t e. ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` { x } ) v = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) x ) ) ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   w, H   t, j, v, x, w, K

Allowed substitution hints:   H( x, v, t, j)   X( x, w, v, t, j)

Proof of Theorem hvmapffval

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3212	. 2 |- ( K e. X -> K e. _V )
2		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( k = K -> ( LHyp ` k ) = ( LHyp ` K ) )
3		hvmapval.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
4	2, 3	syl6eqr 2674	. . . 4 |- ( k = K -> ( LHyp ` k ) = H )
5		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( k = K -> ( DVecH ` k ) = ( DVecH ` K ) )
6	5	fveq1d 6193	. . . . . . 7 |- ( k = K -> ( ( DVecH ` k ) ` w ) = ( ( DVecH ` K ) ` w ) )
7	6	fveq2d 6195	. . . . . 6 |- ( k = K -> ( Base ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) = ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) )
8	6	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( k = K -> ( 0g ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) = ( 0g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) )
9	8	sneqd 4189	. . . . . 6 |- ( k = K -> { ( 0g ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) } = { ( 0g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) } )
10	7, 9	difeq12d 3729	. . . . 5 |- ( k = K -> ( ( Base ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) \ { ( 0g ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) } ) = ( ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) \ { ( 0g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) } ) )
11	6	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( k = K -> (Scalar ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) = (Scalar ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) )
12	11	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( k = K -> ( Base ` (Scalar ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ) = ( Base ` (Scalar ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ) )
13		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( k = K -> ( ocH ` k ) = ( ocH ` K ) )
14	13	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 |- ( k = K -> ( ( ocH ` k ) ` w ) = ( ( ocH ` K ) ` w ) )
15	14	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( k = K -> ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` { x } ) = ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` { x } ) )
16	6	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( k = K -> ( +g ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) = ( +g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) )
17		eqidd 2623	. . . . . . . . . 10 |- ( k = K -> t = t )
18	6	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = K -> ( .s ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) = ( .s ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) )
19	18	oveqd 6667	. . . . . . . . . 10 |- ( k = K -> ( j ( .s ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) x ) = ( j ( .s ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) x ) )
20	16, 17, 19	oveq123d 6671	. . . . . . . . 9 |- ( k = K -> ( t ( +g ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) x ) ) = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) x ) ) )
21	20	eqeq2d 2632	. . . . . . . 8 |- ( k = K -> ( v = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) x ) ) <-> v = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) x ) ) ) )
22	15, 21	rexeqbidv 3153	. . . . . . 7 |- ( k = K -> ( E. t e. ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` { x } ) v = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) x ) ) <-> E. t e. ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` { x } ) v = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) x ) ) ) )
23	12, 22	riotaeqbidv 6614	. . . . . 6 |- ( k = K -> ( iota_ j e. ( Base ` (Scalar ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ) E. t e. ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` { x } ) v = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) x ) ) ) = ( iota_ j e. ( Base ` (Scalar ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ) E. t e. ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` { x } ) v = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) x ) ) ) )
24	7, 23	mpteq12dv 4733	. . . . 5 |- ( k = K -> ( v e. ( Base ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) |-> ( iota_ j e. ( Base ` (Scalar ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ) E. t e. ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` { x } ) v = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) x ) ) ) ) = ( v e. ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) |-> ( iota_ j e. ( Base ` (Scalar ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ) E. t e. ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` { x } ) v = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) x ) ) ) ) )
25	10, 24	mpteq12dv 4733	. . . 4 |- ( k = K -> ( x e. ( ( Base ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) \ { ( 0g ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) } ) |-> ( v e. ( Base ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) |-> ( iota_ j e. ( Base ` (Scalar ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ) E. t e. ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` { x } ) v = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) x ) ) ) ) ) = ( x e. ( ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) \ { ( 0g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) } ) |-> ( v e. ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) |-> ( iota_ j e. ( Base ` (Scalar ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ) E. t e. ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` { x } ) v = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) x ) ) ) ) ) )
26	4, 25	mpteq12dv 4733	. . 3 |- ( k = K -> ( w e. ( LHyp ` k ) |-> ( x e. ( ( Base ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) \ { ( 0g ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) } ) |-> ( v e. ( Base ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) |-> ( iota_ j e. ( Base ` (Scalar ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ) E. t e. ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` { x } ) v = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) x ) ) ) ) ) ) = ( w e. H |-> ( x e. ( ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) \ { ( 0g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) } ) |-> ( v e. ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) |-> ( iota_ j e. ( Base ` (Scalar ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ) E. t e. ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` { x } ) v = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) x ) ) ) ) ) ) )
27		df-hvmap 37046	. . 3 |- HVMap = ( k e. _V |-> ( w e. ( LHyp ` k ) |-> ( x e. ( ( Base ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) \ { ( 0g ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) } ) |-> ( v e. ( Base ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) |-> ( iota_ j e. ( Base ` (Scalar ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ) E. t e. ( ( ( ocH ` k ) ` w ) ` { x } ) v = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` k ) ` w ) ) x ) ) ) ) ) ) )
28		fvex 6201	. . . . 5 |- ( LHyp ` K ) e. _V
29	3, 28	eqeltri 2697	. . . 4 |- H e. _V
30	29	mptex 6486	. . 3 |- ( w e. H |-> ( x e. ( ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) \ { ( 0g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) } ) |-> ( v e. ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) |-> ( iota_ j e. ( Base ` (Scalar ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ) E. t e. ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` { x } ) v = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) x ) ) ) ) ) ) e. _V
31	26, 27, 30	fvmpt 6282	. 2 |- ( K e. _V -> (HVMap ` K ) = ( w e. H |-> ( x e. ( ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) \ { ( 0g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) } ) |-> ( v e. ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) |-> ( iota_ j e. ( Base ` (Scalar ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ) E. t e. ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` { x } ) v = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) x ) ) ) ) ) ) )
32	1, 31	syl 17	1 |- ( K e. X -> (HVMap ` K ) = ( w e. H |-> ( x e. ( ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) \ { ( 0g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) } ) |-> ( v e. ( Base ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) |-> ( iota_ j e. ( Base ` (Scalar ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ) E. t e. ( ( ( ocH ` K ) ` w ) ` { x } ) v = ( t ( +g ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) ( j ( .s ` ( ( DVecH ` K ) ` w ) ) x ) ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   {csn 4177   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888   iota_crio 6610  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   LHypclh 35270   DVecHcdvh 36367   ocHcoch 36636  HVMapchvm 37045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-hvmap 37046

This theorem is referenced by:  hvmapfval  37048