Theorem isass 33645

Description: The predicate "is an associative operation". (Contributed by FL, 1-Nov-2009.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
isass.1	|- X = dom dom G

Assertion

Ref	Expression
isass	|- ( G e. A -> ( G e. Ass <-> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, G, y, z   x, X, y, z

Allowed substitution hints:   A( x, y, z)

Proof of Theorem isass

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmeq 5324	. . . . . . . . . 10 |- ( g = G -> dom g = dom G )
2	1	dmeqd 5326	. . . . . . . . 9 |- ( g = G -> dom dom g = dom dom G )
3	2	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( x e. dom dom g <-> x e. dom dom G ) )
4	2	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( y e. dom dom g <-> y e. dom dom G ) )
5	2	eleq2d 2687	. . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( z e. dom dom g <-> z e. dom dom G ) )
6	3, 4, 5	3anbi123d 1399	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( ( x e. dom dom g /\ y e. dom dom g /\ z e. dom dom g ) <-> ( x e. dom dom G /\ y e. dom dom G /\ z e. dom dom G ) ) )
7		oveq 6656	. . . . . . . . . 10 |- ( g = G -> ( x g y ) = ( x G y ) )
8	7	oveq1d 6665	. . . . . . . . 9 |- ( g = G -> ( ( x g y ) g z ) = ( ( x G y ) g z ) )
9		oveq 6656	. . . . . . . . 9 |- ( g = G -> ( ( x G y ) g z ) = ( ( x G y ) G z ) )
10	8, 9	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( ( x g y ) g z ) = ( ( x G y ) G z ) )
11		oveq 6656	. . . . . . . . . 10 |- ( g = G -> ( y g z ) = ( y G z ) )
12	11	oveq2d 6666	. . . . . . . . 9 |- ( g = G -> ( x g ( y g z ) ) = ( x g ( y G z ) ) )
13		oveq 6656	. . . . . . . . 9 |- ( g = G -> ( x g ( y G z ) ) = ( x G ( y G z ) ) )
14	12, 13	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( g = G -> ( x g ( y g z ) ) = ( x G ( y G z ) ) )
15	10, 14	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( g = G -> ( ( ( x g y ) g z ) = ( x g ( y g z ) ) <-> ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
16	6, 15	imbi12d 334	. . . . . 6 |- ( g = G -> ( ( ( x e. dom dom g /\ y e. dom dom g /\ z e. dom dom g ) -> ( ( x g y ) g z ) = ( x g ( y g z ) ) ) <-> ( ( x e. dom dom G /\ y e. dom dom G /\ z e. dom dom G ) -> ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) ) )
17	16	albidv 1849	. . . . 5 |- ( g = G -> ( A. z ( ( x e. dom dom g /\ y e. dom dom g /\ z e. dom dom g ) -> ( ( x g y ) g z ) = ( x g ( y g z ) ) ) <-> A. z ( ( x e. dom dom G /\ y e. dom dom G /\ z e. dom dom G ) -> ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) ) )
18	17	2albidv 1851	. . . 4 |- ( g = G -> ( A. x A. y A. z ( ( x e. dom dom g /\ y e. dom dom g /\ z e. dom dom g ) -> ( ( x g y ) g z ) = ( x g ( y g z ) ) ) <-> A. x A. y A. z ( ( x e. dom dom G /\ y e. dom dom G /\ z e. dom dom G ) -> ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) ) )
19		r3al 2940	. . . 4 |- ( A. x e. dom dom g A. y e. dom dom g A. z e. dom dom g ( ( x g y ) g z ) = ( x g ( y g z ) ) <-> A. x A. y A. z ( ( x e. dom dom g /\ y e. dom dom g /\ z e. dom dom g ) -> ( ( x g y ) g z ) = ( x g ( y g z ) ) ) )
20		r3al 2940	. . . 4 |- ( A. x e. dom dom G A. y e. dom dom G A. z e. dom dom G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) <-> A. x A. y A. z ( ( x e. dom dom G /\ y e. dom dom G /\ z e. dom dom G ) -> ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
21	18, 19, 20	3bitr4g 303	. . 3 |- ( g = G -> ( A. x e. dom dom g A. y e. dom dom g A. z e. dom dom g ( ( x g y ) g z ) = ( x g ( y g z ) ) <-> A. x e. dom dom G A. y e. dom dom G A. z e. dom dom G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
22		isass.1	. . . . . 6 |- X = dom dom G
23	22	eqcomi 2631	. . . . 5 |- dom dom G = X
24	23	a1i 11	. . . 4 |- ( g = G -> dom dom G = X )
25	24	raleqdv 3144	. . . 4 |- ( g = G -> ( A. y e. dom dom G A. z e. dom dom G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) <-> A. y e. X A. z e. dom dom G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
26	24, 25	raleqbidv 3152	. . 3 |- ( g = G -> ( A. x e. dom dom G A. y e. dom dom G A. z e. dom dom G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) <-> A. x e. X A. y e. X A. z e. dom dom G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
27	24	raleqdv 3144	. . . 4 |- ( g = G -> ( A. z e. dom dom G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) <-> A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
28	27	2ralbidv 2989	. . 3 |- ( g = G -> ( A. x e. X A. y e. X A. z e. dom dom G ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) <-> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
29	21, 26, 28	3bitrd 294	. 2 |- ( g = G -> ( A. x e. dom dom g A. y e. dom dom g A. z e. dom dom g ( ( x g y ) g z ) = ( x g ( y g z ) ) <-> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )
30		df-ass 33642	. 2 |- Ass = { g | A. x e. dom dom g A. y e. dom dom g A. z e. dom dom g ( ( x g y ) g z ) = ( x g ( y g z ) ) }
31	29, 30	elab2g 3353	1 |- ( G e. A -> ( G e. Ass <-> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( x G y ) G z ) = ( x G ( y G z ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   dom cdm 5114  (class class class)co 6650   Asscass 33641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-ass 33642

This theorem is referenced by:  issmgrpOLD  33662