Theorem r3al 2940

Description: Triple restricted universal quantification. (Contributed by NM, 19-Nov-1995.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 30-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
r3al	|- ( A. x e. A A. y e. B A. z e. C ph <-> A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) )

Distinct variable groups:   x, y, z   y, A, z   z, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)   A( x)   B( x, y)   C( x, y, z)

Proof of Theorem r3al

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r2al 2939	. 2 |- ( A. x e. A A. y e. B A. z e. C ph <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> A. z e. C ph ) )
2		19.21v 1868	. . . 4 |- ( A. z ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z e. C -> ph ) ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> A. z ( z e. C -> ph ) ) )
3		df-3an 1039	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z e. C ) )
4	3	imbi1i 339	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z e. C ) -> ph ) )
5		impexp 462	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z e. C ) -> ph ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z e. C -> ph ) ) )
6	4, 5	bitri 264	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z e. C -> ph ) ) )
7	6	albii 1747	. . . 4 |- ( A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) <-> A. z ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( z e. C -> ph ) ) )
8		df-ral 2917	. . . . 5 |- ( A. z e. C ph <-> A. z ( z e. C -> ph ) )
9	8	imbi2i 326	. . . 4 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) -> A. z e. C ph ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> A. z ( z e. C -> ph ) ) )
10	2, 7, 9	3bitr4ri 293	. . 3 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) -> A. z e. C ph ) <-> A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) )
11	10	2albii 1748	. 2 |- ( A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> A. z e. C ph ) <-> A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) )
12	1, 11	bitri 264	1 |- ( A. x e. A A. y e. B A. z e. C ph <-> A. x A. y A. z ( ( x e. A /\ y e. B /\ z e. C ) -> ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   A.wal 1481   e. wcel 1990   A.wral 2912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 386  df-3an 1039  df-ex 1705  df-ral 2917

This theorem is referenced by:  pocl  5042  dfwe2  6981  isass  33645  ntrneikb  38392  ntrneixb  38393