Theorem isnsgrp 17288

Description: A condition for a structure not to be a semigroup. (Contributed by AV, 30-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
issgrpn0.b	|- B = ( Base ` M )
issgrpn0.o	|- .o. = ( +g ` M )

Assertion

Ref	Expression
isnsgrp	|- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) -> M e/ SGrp ) )

Proof of Theorem isnsgrp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1064	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> X e. B )
2		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = X -> ( x .o. y ) = ( X .o. y ) )
3	2	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( ( X .o. y ) .o. z ) )
4		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = X -> ( x .o. ( y .o. z ) ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) )
5	3, 4	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = X -> ( ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) ) )
6	5	notbid 308	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> ( -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) ) )
7	6	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> ( E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> E. z e. B -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) ) )
8	7	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( E. y e. B E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> E. y e. B E. z e. B -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) ) )
9	8	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) /\ x = X ) -> ( E. y e. B E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> E. y e. B E. z e. B -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) ) )
10		simpl2 1065	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> Y e. B )
11		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = Y -> ( X .o. y ) = ( X .o. Y ) )
12	11	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = Y -> ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( ( X .o. Y ) .o. z ) )
13		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = Y -> ( y .o. z ) = ( Y .o. z ) )
14	13	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = Y -> ( X .o. ( y .o. z ) ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) )
15	12, 14	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = Y -> ( ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) <-> ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) ) )
16	15	notbid 308	. . . . . . . . . 10 |- ( y = Y -> ( -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) <-> -. ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) ) )
17	16	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) /\ y = Y ) -> ( -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) <-> -. ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) ) )
18	17	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) /\ y = Y ) -> ( E. z e. B -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) <-> E. z e. B -. ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) ) )
19		simpl3 1066	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> Z e. B )
20		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = Z -> ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( ( X .o. Y ) .o. Z ) )
21		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = Z -> ( Y .o. z ) = ( Y .o. Z ) )
22	21	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = Z -> ( X .o. ( Y .o. z ) ) = ( X .o. ( Y .o. Z ) ) )
23	20, 22	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = Z -> ( ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) <-> ( ( X .o. Y ) .o. Z ) = ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) )
24	23	notbid 308	. . . . . . . . . 10 |- ( z = Z -> ( -. ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) <-> -. ( ( X .o. Y ) .o. Z ) = ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) )
25	24	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) /\ z = Z ) -> ( -. ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) <-> -. ( ( X .o. Y ) .o. Z ) = ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) )
26		neneq 2800	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) -> -. ( ( X .o. Y ) .o. Z ) = ( X .o. ( Y .o. Z ) ) )
27	26	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> -. ( ( X .o. Y ) .o. Z ) = ( X .o. ( Y .o. Z ) ) )
28	19, 25, 27	rspcedvd 3317	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> E. z e. B -. ( ( X .o. Y ) .o. z ) = ( X .o. ( Y .o. z ) ) )
29	10, 18, 28	rspcedvd 3317	. . . . . . 7 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> E. y e. B E. z e. B -. ( ( X .o. y ) .o. z ) = ( X .o. ( y .o. z ) ) )
30	1, 9, 29	rspcedvd 3317	. . . . . 6 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> E. x e. B E. y e. B E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
31		rexnal 2995	. . . . . . . 8 |- ( E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> -. A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
32	31	2rexbii 3042	. . . . . . 7 |- ( E. x e. B E. y e. B E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> E. x e. B E. y e. B -. A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
33		rexnal2 3043	. . . . . . 7 |- ( E. x e. B E. y e. B -. A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> -. A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
34	32, 33	bitr2i 265	. . . . . 6 |- ( -. A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) <-> E. x e. B E. y e. B E. z e. B -. ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
35	30, 34	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> -. A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) )
36	35	intnand 962	. . . 4 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> -. ( M e. Mgm /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) )
37		issgrpn0.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` M )
38		issgrpn0.o	. . . . 5 |- .o. = ( +g ` M )
39	37, 38	issgrp 17285	. . . 4 |- ( M e. SGrp <-> ( M e. Mgm /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( ( x .o. y ) .o. z ) = ( x .o. ( y .o. z ) ) ) )
40	36, 39	sylnibr 319	. . 3 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> -. M e. SGrp )
41		df-nel 2898	. . 3 |- ( M e/ SGrp <-> -. M e. SGrp )
42	40, 41	sylibr 224	. 2 |- ( ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) ) -> M e/ SGrp )
43	42	ex 450	1 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( ( ( X .o. Y ) .o. Z ) =/= ( X .o. ( Y .o. Z ) ) -> M e/ SGrp ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   e/ wnel 2897   A.wral 2912   E.wrex 2913   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Mgmcmgm 17240  SGrpcsgrp 17283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-sgrp 17284

This theorem is referenced by:  mgm2nsgrplem4  17408  xrsnsgrp  19782