Theorem mgm2nsgrplem4 17408

Description: Lemma 4 for mgm2nsgrp 17409: M is not a semigroup. (Contributed by AV, 28-Jan-2020.) (Proof shortened by AV, 31-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgm2nsgrp.s	|- S = { A , B }
mgm2nsgrp.b	|- ( Base ` M ) = S
mgm2nsgrp.o	|- ( +g ` M ) = ( x e. S , y e. S |-> if ( ( x = A /\ y = A ) , B , A ) )

Assertion

Ref	Expression
mgm2nsgrplem4	|- ( ( # ` S ) = 2 -> M e/ SGrp )

Distinct variable groups:   x, S, y   x, A, y   x, B, y   x, M, y

Proof of Theorem mgm2nsgrplem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgm2nsgrp.s	. . . 4 |- S = { A , B }
2	1	hashprdifel 13186	. . 3 |- ( ( # ` S ) = 2 -> ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) )
3		simp1 1061	. . . 4 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> A e. S )
4		simp2 1062	. . . 4 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> B e. S )
5	3, 3, 4	3jca 1242	. . 3 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( A e. S /\ A e. S /\ B e. S ) )
6	2, 5	syl 17	. 2 |- ( ( # ` S ) = 2 -> ( A e. S /\ A e. S /\ B e. S ) )
7		simp3 1063	. . . 4 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> A =/= B )
8		mgm2nsgrp.b	. . . . . 6 |- ( Base ` M ) = S
9		mgm2nsgrp.o	. . . . . 6 |- ( +g ` M ) = ( x e. S , y e. S |-> if ( ( x = A /\ y = A ) , B , A ) )
10		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( +g ` M ) = ( +g ` M )
11	1, 8, 9, 10	mgm2nsgrplem2 17406	. . . . 5 |- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) B ) = A )
12	11	3adant3 1081	. . . 4 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) B ) = A )
13	1, 8, 9, 10	mgm2nsgrplem3 17407	. . . . 5 |- ( ( A e. S /\ B e. S ) -> ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) B ) ) = B )
14	13	3adant3 1081	. . . 4 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) B ) ) = B )
15	7, 12, 14	3netr4d 2871	. . 3 |- ( ( A e. S /\ B e. S /\ A =/= B ) -> ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) B ) =/= ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) B ) ) )
16	2, 15	syl 17	. 2 |- ( ( # ` S ) = 2 -> ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) B ) =/= ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) B ) ) )
17	8	eqcomi 2631	. . 3 |- S = ( Base ` M )
18	17, 10	isnsgrp 17288	. 2 |- ( ( A e. S /\ A e. S /\ B e. S ) -> ( ( ( A ( +g ` M ) A ) ( +g ` M ) B ) =/= ( A ( +g ` M ) ( A ( +g ` M ) B ) ) -> M e/ SGrp ) )
19	6, 16, 18	sylc 65	1 |- ( ( # ` S ) = 2 -> M e/ SGrp )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   e/ wnel 2897   ifcif 4086   {cpr 4179   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   2c2 11070   #chash 13117   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  SGrpcsgrp 17283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118  df-sgrp 17284

This theorem is referenced by:  mgm2nsgrp  17409  mgmnsgrpex  17418