Theorem isotone2 38347

Description: Two different ways to say subset relation persists across applications of a function. (Contributed by RP, 31-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
isotone2	|- ( A. a e. ~P A A. b e. ~P A ( a C_ b -> ( F ` a ) C_ ( F ` b ) ) <-> A. a e. ~P A A. b e. ~P A ( F ` ( a i^i b ) ) C_ ( ( F ` a ) i^i ( F ` b ) ) )

Distinct variable groups:   A, a, b   F, a, b

Proof of Theorem isotone2

Dummy variables c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3626	. . . 4 |- ( a = c -> ( a C_ b <-> c C_ b ) )
2		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( a = c -> ( F ` a ) = ( F ` c ) )
3	2	sseq1d 3632	. . . 4 |- ( a = c -> ( ( F ` a ) C_ ( F ` b ) <-> ( F ` c ) C_ ( F ` b ) ) )
4	1, 3	imbi12d 334	. . 3 |- ( a = c -> ( ( a C_ b -> ( F ` a ) C_ ( F ` b ) ) <-> ( c C_ b -> ( F ` c ) C_ ( F ` b ) ) ) )
5		sseq2 3627	. . . 4 |- ( b = d -> ( c C_ b <-> c C_ d ) )
6		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( b = d -> ( F ` b ) = ( F ` d ) )
7	6	sseq2d 3633	. . . 4 |- ( b = d -> ( ( F ` c ) C_ ( F ` b ) <-> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) )
8	5, 7	imbi12d 334	. . 3 |- ( b = d -> ( ( c C_ b -> ( F ` c ) C_ ( F ` b ) ) <-> ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) ) )
9	4, 8	cbvral2v 3179	. 2 |- ( A. a e. ~P A A. b e. ~P A ( a C_ b -> ( F ` a ) C_ ( F ` b ) ) <-> A. c e. ~P A A. d e. ~P A ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) )
10		inss1 3833	. . . . . 6 |- ( a i^i b ) C_ a
11		inss2 3834	. . . . . . . . . 10 |- ( a i^i b ) C_ b
12		elpwi 4168	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. ~P A -> b C_ A )
13	11, 12	syl5ss 3614	. . . . . . . . 9 |- ( b e. ~P A -> ( a i^i b ) C_ A )
14		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- b e. _V
15	14	inex2 4800	. . . . . . . . . 10 |- ( a i^i b ) e. _V
16	15	elpw 4164	. . . . . . . . 9 |- ( ( a i^i b ) e. ~P A <-> ( a i^i b ) C_ A )
17	13, 16	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( b e. ~P A -> ( a i^i b ) e. ~P A )
18	17	ad2antll 765	. . . . . . 7 |- ( ( A. c e. ~P A A. d e. ~P A ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) /\ ( a e. ~P A /\ b e. ~P A ) ) -> ( a i^i b ) e. ~P A )
19		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( A. c e. ~P A A. d e. ~P A ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) /\ ( a e. ~P A /\ b e. ~P A ) ) -> a e. ~P A )
20		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( A. c e. ~P A A. d e. ~P A ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) /\ ( a e. ~P A /\ b e. ~P A ) ) -> A. c e. ~P A A. d e. ~P A ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) )
21		sseq1 3626	. . . . . . . . 9 |- ( c = ( a i^i b ) -> ( c C_ d <-> ( a i^i b ) C_ d ) )
22		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( c = ( a i^i b ) -> ( F ` c ) = ( F ` ( a i^i b ) ) )
23	22	sseq1d 3632	. . . . . . . . 9 |- ( c = ( a i^i b ) -> ( ( F ` c ) C_ ( F ` d ) <-> ( F ` ( a i^i b ) ) C_ ( F ` d ) ) )
24	21, 23	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( c = ( a i^i b ) -> ( ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) <-> ( ( a i^i b ) C_ d -> ( F ` ( a i^i b ) ) C_ ( F ` d ) ) ) )
25		sseq2 3627	. . . . . . . . 9 |- ( d = a -> ( ( a i^i b ) C_ d <-> ( a i^i b ) C_ a ) )
26		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( d = a -> ( F ` d ) = ( F ` a ) )
27	26	sseq2d 3633	. . . . . . . . 9 |- ( d = a -> ( ( F ` ( a i^i b ) ) C_ ( F ` d ) <-> ( F ` ( a i^i b ) ) C_ ( F ` a ) ) )
28	25, 27	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( d = a -> ( ( ( a i^i b ) C_ d -> ( F ` ( a i^i b ) ) C_ ( F ` d ) ) <-> ( ( a i^i b ) C_ a -> ( F ` ( a i^i b ) ) C_ ( F ` a ) ) ) )
29	24, 28	rspc2va 3323	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( a i^i b ) e. ~P A /\ a e. ~P A ) /\ A. c e. ~P A A. d e. ~P A ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) ) -> ( ( a i^i b ) C_ a -> ( F ` ( a i^i b ) ) C_ ( F ` a ) ) )
30	18, 19, 20, 29	syl21anc 1325	. . . . . 6 |- ( ( A. c e. ~P A A. d e. ~P A ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) /\ ( a e. ~P A /\ b e. ~P A ) ) -> ( ( a i^i b ) C_ a -> ( F ` ( a i^i b ) ) C_ ( F ` a ) ) )
31	10, 30	mpi 20	. . . . 5 |- ( ( A. c e. ~P A A. d e. ~P A ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) /\ ( a e. ~P A /\ b e. ~P A ) ) -> ( F ` ( a i^i b ) ) C_ ( F ` a ) )
32		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( A. c e. ~P A A. d e. ~P A ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) /\ ( a e. ~P A /\ b e. ~P A ) ) -> b e. ~P A )
33		sseq2 3627	. . . . . . . . 9 |- ( d = b -> ( ( a i^i b ) C_ d <-> ( a i^i b ) C_ b ) )
34		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( d = b -> ( F ` d ) = ( F ` b ) )
35	34	sseq2d 3633	. . . . . . . . 9 |- ( d = b -> ( ( F ` ( a i^i b ) ) C_ ( F ` d ) <-> ( F ` ( a i^i b ) ) C_ ( F ` b ) ) )
36	33, 35	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( d = b -> ( ( ( a i^i b ) C_ d -> ( F ` ( a i^i b ) ) C_ ( F ` d ) ) <-> ( ( a i^i b ) C_ b -> ( F ` ( a i^i b ) ) C_ ( F ` b ) ) ) )
37	24, 36	rspc2va 3323	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( a i^i b ) e. ~P A /\ b e. ~P A ) /\ A. c e. ~P A A. d e. ~P A ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) ) -> ( ( a i^i b ) C_ b -> ( F ` ( a i^i b ) ) C_ ( F ` b ) ) )
38	18, 32, 20, 37	syl21anc 1325	. . . . . 6 |- ( ( A. c e. ~P A A. d e. ~P A ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) /\ ( a e. ~P A /\ b e. ~P A ) ) -> ( ( a i^i b ) C_ b -> ( F ` ( a i^i b ) ) C_ ( F ` b ) ) )
39	11, 38	mpi 20	. . . . 5 |- ( ( A. c e. ~P A A. d e. ~P A ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) /\ ( a e. ~P A /\ b e. ~P A ) ) -> ( F ` ( a i^i b ) ) C_ ( F ` b ) )
40	31, 39	ssind 3837	. . . 4 |- ( ( A. c e. ~P A A. d e. ~P A ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) /\ ( a e. ~P A /\ b e. ~P A ) ) -> ( F ` ( a i^i b ) ) C_ ( ( F ` a ) i^i ( F ` b ) ) )
41	40	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( A. c e. ~P A A. d e. ~P A ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) -> A. a e. ~P A A. b e. ~P A ( F ` ( a i^i b ) ) C_ ( ( F ` a ) i^i ( F ` b ) ) )
42		dfss 3589	. . . . 5 |- ( c C_ d <-> c = ( c i^i d ) )
43		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( c = ( c i^i d ) -> ( F ` c ) = ( F ` ( c i^i d ) ) )
44	43	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. a e. ~P A A. b e. ~P A ( F ` ( a i^i b ) ) C_ ( ( F ` a ) i^i ( F ` b ) ) /\ ( c e. ~P A /\ d e. ~P A ) ) /\ c = ( c i^i d ) ) -> ( F ` c ) = ( F ` ( c i^i d ) ) )
45		ineq1 3807	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = c -> ( a i^i b ) = ( c i^i b ) )
46	45	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = c -> ( F ` ( a i^i b ) ) = ( F ` ( c i^i b ) ) )
47	2	ineq1d 3813	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = c -> ( ( F ` a ) i^i ( F ` b ) ) = ( ( F ` c ) i^i ( F ` b ) ) )
48	46, 47	sseq12d 3634	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = c -> ( ( F ` ( a i^i b ) ) C_ ( ( F ` a ) i^i ( F ` b ) ) <-> ( F ` ( c i^i b ) ) C_ ( ( F ` c ) i^i ( F ` b ) ) ) )
49		ineq2 3808	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = d -> ( c i^i b ) = ( c i^i d ) )
50	49	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = d -> ( F ` ( c i^i b ) ) = ( F ` ( c i^i d ) ) )
51	6	ineq2d 3814	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = d -> ( ( F ` c ) i^i ( F ` b ) ) = ( ( F ` c ) i^i ( F ` d ) ) )
52	50, 51	sseq12d 3634	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = d -> ( ( F ` ( c i^i b ) ) C_ ( ( F ` c ) i^i ( F ` b ) ) <-> ( F ` ( c i^i d ) ) C_ ( ( F ` c ) i^i ( F ` d ) ) ) )
53	48, 52	rspc2va 3323	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( c e. ~P A /\ d e. ~P A ) /\ A. a e. ~P A A. b e. ~P A ( F ` ( a i^i b ) ) C_ ( ( F ` a ) i^i ( F ` b ) ) ) -> ( F ` ( c i^i d ) ) C_ ( ( F ` c ) i^i ( F ` d ) ) )
54	53	ancoms 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. a e. ~P A A. b e. ~P A ( F ` ( a i^i b ) ) C_ ( ( F ` a ) i^i ( F ` b ) ) /\ ( c e. ~P A /\ d e. ~P A ) ) -> ( F ` ( c i^i d ) ) C_ ( ( F ` c ) i^i ( F ` d ) ) )
55		inss2 3834	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` c ) i^i ( F ` d ) ) C_ ( F ` d )
56	54, 55	syl6ss 3615	. . . . . . . 8 |- ( ( A. a e. ~P A A. b e. ~P A ( F ` ( a i^i b ) ) C_ ( ( F ` a ) i^i ( F ` b ) ) /\ ( c e. ~P A /\ d e. ~P A ) ) -> ( F ` ( c i^i d ) ) C_ ( F ` d ) )
57	56	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. a e. ~P A A. b e. ~P A ( F ` ( a i^i b ) ) C_ ( ( F ` a ) i^i ( F ` b ) ) /\ ( c e. ~P A /\ d e. ~P A ) ) /\ c = ( c i^i d ) ) -> ( F ` ( c i^i d ) ) C_ ( F ` d ) )
58	44, 57	eqsstrd 3639	. . . . . 6 |- ( ( ( A. a e. ~P A A. b e. ~P A ( F ` ( a i^i b ) ) C_ ( ( F ` a ) i^i ( F ` b ) ) /\ ( c e. ~P A /\ d e. ~P A ) ) /\ c = ( c i^i d ) ) -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) )
59	58	ex 450	. . . . 5 |- ( ( A. a e. ~P A A. b e. ~P A ( F ` ( a i^i b ) ) C_ ( ( F ` a ) i^i ( F ` b ) ) /\ ( c e. ~P A /\ d e. ~P A ) ) -> ( c = ( c i^i d ) -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) )
60	42, 59	syl5bi 232	. . . 4 |- ( ( A. a e. ~P A A. b e. ~P A ( F ` ( a i^i b ) ) C_ ( ( F ` a ) i^i ( F ` b ) ) /\ ( c e. ~P A /\ d e. ~P A ) ) -> ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) )
61	60	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( A. a e. ~P A A. b e. ~P A ( F ` ( a i^i b ) ) C_ ( ( F ` a ) i^i ( F ` b ) ) -> A. c e. ~P A A. d e. ~P A ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) )
62	41, 61	impbii 199	. 2 |- ( A. c e. ~P A A. d e. ~P A ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) <-> A. a e. ~P A A. b e. ~P A ( F ` ( a i^i b ) ) C_ ( ( F ` a ) i^i ( F ` b ) ) )
63	9, 62	bitri 264	1 |- ( A. a e. ~P A A. b e. ~P A ( a C_ b -> ( F ` a ) C_ ( F ` b ) ) <-> A. a e. ~P A A. b e. ~P A ( F ` ( a i^i b ) ) C_ ( ( F ` a ) i^i ( F ` b ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  ntrk1k3eqk13  38348