Theorem isotone1 38346

Description: Two different ways to say subset relation persists across applications of a function. (Contributed by RP, 31-May-2021.)

Assertion

Ref	Expression
isotone1	|- ( A. a e. ~P A A. b e. ~P A ( a C_ b -> ( F ` a ) C_ ( F ` b ) ) <-> A. a e. ~P A A. b e. ~P A ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` ( a u. b ) ) )

Distinct variable groups:   A, a, b   F, a, b

Proof of Theorem isotone1

Dummy variables c d are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3626	. . . 4 |- ( a = c -> ( a C_ b <-> c C_ b ) )
2		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( a = c -> ( F ` a ) = ( F ` c ) )
3	2	sseq1d 3632	. . . 4 |- ( a = c -> ( ( F ` a ) C_ ( F ` b ) <-> ( F ` c ) C_ ( F ` b ) ) )
4	1, 3	imbi12d 334	. . 3 |- ( a = c -> ( ( a C_ b -> ( F ` a ) C_ ( F ` b ) ) <-> ( c C_ b -> ( F ` c ) C_ ( F ` b ) ) ) )
5		sseq2 3627	. . . 4 |- ( b = d -> ( c C_ b <-> c C_ d ) )
6		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( b = d -> ( F ` b ) = ( F ` d ) )
7	6	sseq2d 3633	. . . 4 |- ( b = d -> ( ( F ` c ) C_ ( F ` b ) <-> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) )
8	5, 7	imbi12d 334	. . 3 |- ( b = d -> ( ( c C_ b -> ( F ` c ) C_ ( F ` b ) ) <-> ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) ) )
9	4, 8	cbvral2v 3179	. 2 |- ( A. a e. ~P A A. b e. ~P A ( a C_ b -> ( F ` a ) C_ ( F ` b ) ) <-> A. c e. ~P A A. d e. ~P A ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) )
10		ssun1 3776	. . . . . 6 |- a C_ ( a u. b )
11		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( A. c e. ~P A A. d e. ~P A ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) /\ ( a e. ~P A /\ b e. ~P A ) ) -> a e. ~P A )
12		elpwi 4168	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. ~P A -> a C_ A )
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. ~P A /\ b e. ~P A ) -> a C_ A )
14		elpwi 4168	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. ~P A -> b C_ A )
15	14	adantl 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( a e. ~P A /\ b e. ~P A ) -> b C_ A )
16	13, 15	unssd 3789	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. ~P A /\ b e. ~P A ) -> ( a u. b ) C_ A )
17		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- a e. _V
18		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- b e. _V
19	17, 18	unex 6956	. . . . . . . . . 10 |- ( a u. b ) e. _V
20	19	elpw 4164	. . . . . . . . 9 |- ( ( a u. b ) e. ~P A <-> ( a u. b ) C_ A )
21	16, 20	sylibr 224	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. ~P A /\ b e. ~P A ) -> ( a u. b ) e. ~P A )
22	21	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( A. c e. ~P A A. d e. ~P A ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) /\ ( a e. ~P A /\ b e. ~P A ) ) -> ( a u. b ) e. ~P A )
23		simpl 473	. . . . . . 7 |- ( ( A. c e. ~P A A. d e. ~P A ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) /\ ( a e. ~P A /\ b e. ~P A ) ) -> A. c e. ~P A A. d e. ~P A ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) )
24		sseq1 3626	. . . . . . . . 9 |- ( c = a -> ( c C_ d <-> a C_ d ) )
25		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( c = a -> ( F ` c ) = ( F ` a ) )
26	25	sseq1d 3632	. . . . . . . . 9 |- ( c = a -> ( ( F ` c ) C_ ( F ` d ) <-> ( F ` a ) C_ ( F ` d ) ) )
27	24, 26	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( c = a -> ( ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) <-> ( a C_ d -> ( F ` a ) C_ ( F ` d ) ) ) )
28		sseq2 3627	. . . . . . . . 9 |- ( d = ( a u. b ) -> ( a C_ d <-> a C_ ( a u. b ) ) )
29		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( d = ( a u. b ) -> ( F ` d ) = ( F ` ( a u. b ) ) )
30	29	sseq2d 3633	. . . . . . . . 9 |- ( d = ( a u. b ) -> ( ( F ` a ) C_ ( F ` d ) <-> ( F ` a ) C_ ( F ` ( a u. b ) ) ) )
31	28, 30	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( d = ( a u. b ) -> ( ( a C_ d -> ( F ` a ) C_ ( F ` d ) ) <-> ( a C_ ( a u. b ) -> ( F ` a ) C_ ( F ` ( a u. b ) ) ) ) )
32	27, 31	rspc2va 3323	. . . . . . 7 |- ( ( ( a e. ~P A /\ ( a u. b ) e. ~P A ) /\ A. c e. ~P A A. d e. ~P A ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) ) -> ( a C_ ( a u. b ) -> ( F ` a ) C_ ( F ` ( a u. b ) ) ) )
33	11, 22, 23, 32	syl21anc 1325	. . . . . 6 |- ( ( A. c e. ~P A A. d e. ~P A ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) /\ ( a e. ~P A /\ b e. ~P A ) ) -> ( a C_ ( a u. b ) -> ( F ` a ) C_ ( F ` ( a u. b ) ) ) )
34	10, 33	mpi 20	. . . . 5 |- ( ( A. c e. ~P A A. d e. ~P A ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) /\ ( a e. ~P A /\ b e. ~P A ) ) -> ( F ` a ) C_ ( F ` ( a u. b ) ) )
35		ssun2 3777	. . . . . 6 |- b C_ ( a u. b )
36		simprr 796	. . . . . . 7 |- ( ( A. c e. ~P A A. d e. ~P A ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) /\ ( a e. ~P A /\ b e. ~P A ) ) -> b e. ~P A )
37		sseq1 3626	. . . . . . . . 9 |- ( c = b -> ( c C_ d <-> b C_ d ) )
38		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( c = b -> ( F ` c ) = ( F ` b ) )
39	38	sseq1d 3632	. . . . . . . . 9 |- ( c = b -> ( ( F ` c ) C_ ( F ` d ) <-> ( F ` b ) C_ ( F ` d ) ) )
40	37, 39	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( c = b -> ( ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) <-> ( b C_ d -> ( F ` b ) C_ ( F ` d ) ) ) )
41		sseq2 3627	. . . . . . . . 9 |- ( d = ( a u. b ) -> ( b C_ d <-> b C_ ( a u. b ) ) )
42	29	sseq2d 3633	. . . . . . . . 9 |- ( d = ( a u. b ) -> ( ( F ` b ) C_ ( F ` d ) <-> ( F ` b ) C_ ( F ` ( a u. b ) ) ) )
43	41, 42	imbi12d 334	. . . . . . . 8 |- ( d = ( a u. b ) -> ( ( b C_ d -> ( F ` b ) C_ ( F ` d ) ) <-> ( b C_ ( a u. b ) -> ( F ` b ) C_ ( F ` ( a u. b ) ) ) ) )
44	40, 43	rspc2va 3323	. . . . . . 7 |- ( ( ( b e. ~P A /\ ( a u. b ) e. ~P A ) /\ A. c e. ~P A A. d e. ~P A ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) ) -> ( b C_ ( a u. b ) -> ( F ` b ) C_ ( F ` ( a u. b ) ) ) )
45	36, 22, 23, 44	syl21anc 1325	. . . . . 6 |- ( ( A. c e. ~P A A. d e. ~P A ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) /\ ( a e. ~P A /\ b e. ~P A ) ) -> ( b C_ ( a u. b ) -> ( F ` b ) C_ ( F ` ( a u. b ) ) ) )
46	35, 45	mpi 20	. . . . 5 |- ( ( A. c e. ~P A A. d e. ~P A ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) /\ ( a e. ~P A /\ b e. ~P A ) ) -> ( F ` b ) C_ ( F ` ( a u. b ) ) )
47	34, 46	unssd 3789	. . . 4 |- ( ( A. c e. ~P A A. d e. ~P A ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) /\ ( a e. ~P A /\ b e. ~P A ) ) -> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` ( a u. b ) ) )
48	47	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( A. c e. ~P A A. d e. ~P A ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) -> A. a e. ~P A A. b e. ~P A ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` ( a u. b ) ) )
49		ssequn1 3783	. . . . 5 |- ( c C_ d <-> ( c u. d ) = d )
50	2	uneq1d 3766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = c -> ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) = ( ( F ` c ) u. ( F ` b ) ) )
51		uneq1 3760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( a = c -> ( a u. b ) = ( c u. b ) )
52	51	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a = c -> ( F ` ( a u. b ) ) = ( F ` ( c u. b ) ) )
53	50, 52	sseq12d 3634	. . . . . . . . . . 11 |- ( a = c -> ( ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` ( a u. b ) ) <-> ( ( F ` c ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` ( c u. b ) ) ) )
54	6	uneq2d 3767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = d -> ( ( F ` c ) u. ( F ` b ) ) = ( ( F ` c ) u. ( F ` d ) ) )
55		uneq2 3761	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( b = d -> ( c u. b ) = ( c u. d ) )
56	55	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( b = d -> ( F ` ( c u. b ) ) = ( F ` ( c u. d ) ) )
57	54, 56	sseq12d 3634	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = d -> ( ( ( F ` c ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` ( c u. b ) ) <-> ( ( F ` c ) u. ( F ` d ) ) C_ ( F ` ( c u. d ) ) ) )
58	53, 57	rspc2va 3323	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( c e. ~P A /\ d e. ~P A ) /\ A. a e. ~P A A. b e. ~P A ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` ( a u. b ) ) ) -> ( ( F ` c ) u. ( F ` d ) ) C_ ( F ` ( c u. d ) ) )
59	58	ancoms 469	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. a e. ~P A A. b e. ~P A ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` ( a u. b ) ) /\ ( c e. ~P A /\ d e. ~P A ) ) -> ( ( F ` c ) u. ( F ` d ) ) C_ ( F ` ( c u. d ) ) )
60	59	unssad 3790	. . . . . . . 8 |- ( ( A. a e. ~P A A. b e. ~P A ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` ( a u. b ) ) /\ ( c e. ~P A /\ d e. ~P A ) ) -> ( F ` c ) C_ ( F ` ( c u. d ) ) )
61	60	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. a e. ~P A A. b e. ~P A ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` ( a u. b ) ) /\ ( c e. ~P A /\ d e. ~P A ) ) /\ ( c u. d ) = d ) -> ( F ` c ) C_ ( F ` ( c u. d ) ) )
62		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( ( c u. d ) = d -> ( F ` ( c u. d ) ) = ( F ` d ) )
63	62	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( A. a e. ~P A A. b e. ~P A ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` ( a u. b ) ) /\ ( c e. ~P A /\ d e. ~P A ) ) /\ ( c u. d ) = d ) -> ( F ` ( c u. d ) ) = ( F ` d ) )
64	61, 63	sseqtrd 3641	. . . . . 6 |- ( ( ( A. a e. ~P A A. b e. ~P A ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` ( a u. b ) ) /\ ( c e. ~P A /\ d e. ~P A ) ) /\ ( c u. d ) = d ) -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) )
65	64	ex 450	. . . . 5 |- ( ( A. a e. ~P A A. b e. ~P A ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` ( a u. b ) ) /\ ( c e. ~P A /\ d e. ~P A ) ) -> ( ( c u. d ) = d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) )
66	49, 65	syl5bi 232	. . . 4 |- ( ( A. a e. ~P A A. b e. ~P A ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` ( a u. b ) ) /\ ( c e. ~P A /\ d e. ~P A ) ) -> ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) )
67	66	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( A. a e. ~P A A. b e. ~P A ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` ( a u. b ) ) -> A. c e. ~P A A. d e. ~P A ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) )
68	48, 67	impbii 199	. 2 |- ( A. c e. ~P A A. d e. ~P A ( c C_ d -> ( F ` c ) C_ ( F ` d ) ) <-> A. a e. ~P A A. b e. ~P A ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` ( a u. b ) ) )
69	9, 68	bitri 264	1 |- ( A. a e. ~P A A. b e. ~P A ( a C_ b -> ( F ` a ) C_ ( F ` b ) ) <-> A. a e. ~P A A. b e. ~P A ( ( F ` a ) u. ( F ` b ) ) C_ ( F ` ( a u. b ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   u. cun 3572   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   ` cfv 5888

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896

This theorem is referenced by: (None)