Theorem isplig 27328

Description: The predicate "is a planar incidence geometry" for sets. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)

Hypothesis

Ref	Expression
isplig.1	|- P = U. G

Assertion

Ref	Expression
isplig	|- ( G e. A -> ( G e. Plig <-> ( A. a e. P A. b e. P ( a =/= b -> E! l e. G ( a e. l /\ b e. l ) ) /\ A. l e. G E. a e. P E. b e. P ( a =/= b /\ a e. l /\ b e. l ) /\ E. a e. P E. b e. P E. c e. P A. l e. G -. ( a e. l /\ b e. l /\ c e. l ) ) ) )

Distinct variable groups:   a, b, c, l, G   P, a, b, c

Allowed substitution hints:   A( a, b, c, l)   P( l)

Proof of Theorem isplig

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unieq 4444	. . . . 5 |- ( x = G -> U. x = U. G )
2		isplig.1	. . . . 5 |- P = U. G
3	1, 2	syl6eqr 2674	. . . 4 |- ( x = G -> U. x = P )
4		reueq1 3140	. . . . . 6 |- ( x = G -> ( E! l e. x ( a e. l /\ b e. l ) <-> E! l e. G ( a e. l /\ b e. l ) ) )
5	4	imbi2d 330	. . . . 5 |- ( x = G -> ( ( a =/= b -> E! l e. x ( a e. l /\ b e. l ) ) <-> ( a =/= b -> E! l e. G ( a e. l /\ b e. l ) ) ) )
6	3, 5	raleqbidv 3152	. . . 4 |- ( x = G -> ( A. b e. U. x ( a =/= b -> E! l e. x ( a e. l /\ b e. l ) ) <-> A. b e. P ( a =/= b -> E! l e. G ( a e. l /\ b e. l ) ) ) )
7	3, 6	raleqbidv 3152	. . 3 |- ( x = G -> ( A. a e. U. x A. b e. U. x ( a =/= b -> E! l e. x ( a e. l /\ b e. l ) ) <-> A. a e. P A. b e. P ( a =/= b -> E! l e. G ( a e. l /\ b e. l ) ) ) )
8	3	rexeqdv 3145	. . . . 5 |- ( x = G -> ( E. b e. U. x ( a =/= b /\ a e. l /\ b e. l ) <-> E. b e. P ( a =/= b /\ a e. l /\ b e. l ) ) )
9	3, 8	rexeqbidv 3153	. . . 4 |- ( x = G -> ( E. a e. U. x E. b e. U. x ( a =/= b /\ a e. l /\ b e. l ) <-> E. a e. P E. b e. P ( a =/= b /\ a e. l /\ b e. l ) ) )
10	9	raleqbi1dv 3146	. . 3 |- ( x = G -> ( A. l e. x E. a e. U. x E. b e. U. x ( a =/= b /\ a e. l /\ b e. l ) <-> A. l e. G E. a e. P E. b e. P ( a =/= b /\ a e. l /\ b e. l ) ) )
11		raleq 3138	. . . . . 6 |- ( x = G -> ( A. l e. x -. ( a e. l /\ b e. l /\ c e. l ) <-> A. l e. G -. ( a e. l /\ b e. l /\ c e. l ) ) )
12	3, 11	rexeqbidv 3153	. . . . 5 |- ( x = G -> ( E. c e. U. x A. l e. x -. ( a e. l /\ b e. l /\ c e. l ) <-> E. c e. P A. l e. G -. ( a e. l /\ b e. l /\ c e. l ) ) )
13	3, 12	rexeqbidv 3153	. . . 4 |- ( x = G -> ( E. b e. U. x E. c e. U. x A. l e. x -. ( a e. l /\ b e. l /\ c e. l ) <-> E. b e. P E. c e. P A. l e. G -. ( a e. l /\ b e. l /\ c e. l ) ) )
14	3, 13	rexeqbidv 3153	. . 3 |- ( x = G -> ( E. a e. U. x E. b e. U. x E. c e. U. x A. l e. x -. ( a e. l /\ b e. l /\ c e. l ) <-> E. a e. P E. b e. P E. c e. P A. l e. G -. ( a e. l /\ b e. l /\ c e. l ) ) )
15	7, 10, 14	3anbi123d 1399	. 2 |- ( x = G -> ( ( A. a e. U. x A. b e. U. x ( a =/= b -> E! l e. x ( a e. l /\ b e. l ) ) /\ A. l e. x E. a e. U. x E. b e. U. x ( a =/= b /\ a e. l /\ b e. l ) /\ E. a e. U. x E. b e. U. x E. c e. U. x A. l e. x -. ( a e. l /\ b e. l /\ c e. l ) ) <-> ( A. a e. P A. b e. P ( a =/= b -> E! l e. G ( a e. l /\ b e. l ) ) /\ A. l e. G E. a e. P E. b e. P ( a =/= b /\ a e. l /\ b e. l ) /\ E. a e. P E. b e. P E. c e. P A. l e. G -. ( a e. l /\ b e. l /\ c e. l ) ) ) )
16		df-plig 27327	. 2 |- Plig = { x | ( A. a e. U. x A. b e. U. x ( a =/= b -> E! l e. x ( a e. l /\ b e. l ) ) /\ A. l e. x E. a e. U. x E. b e. U. x ( a =/= b /\ a e. l /\ b e. l ) /\ E. a e. U. x E. b e. U. x E. c e. U. x A. l e. x -. ( a e. l /\ b e. l /\ c e. l ) ) }
17	15, 16	elab2g 3353	1 |- ( G e. A -> ( G e. Plig <-> ( A. a e. P A. b e. P ( a =/= b -> E! l e. G ( a e. l /\ b e. l ) ) /\ A. l e. G E. a e. P E. b e. P ( a =/= b /\ a e. l /\ b e. l ) /\ E. a e. P E. b e. P E. c e. P A. l e. G -. ( a e. l /\ b e. l /\ c e. l ) ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   U.cuni 4436   Pligcplig 27326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-v 3202  df-uni 4437  df-plig 27327

This theorem is referenced by:  ispligb  27329  tncp  27330  l2p  27331  eulplig  27337