Theorem eulplig 27337

Description: Through two distinct points of a planar incidence geometry, there is a unique line. (Contributed by BJ, 2-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
eulplig.1	|- P = U. G

Assertion

Ref	Expression
eulplig	|- ( ( G e. Plig /\ ( ( A e. P /\ B e. P ) /\ A =/= B ) ) -> E! l e. G ( A e. l /\ B e. l ) )

Distinct variable groups:   G, l   A, l   B, l

Allowed substitution hint:   P( l)

Proof of Theorem eulplig

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eulplig.1	. . . . 5 |- P = U. G
2	1	isplig 27328	. . . 4 |- ( G e. Plig -> ( G e. Plig <-> ( A. a e. P A. b e. P ( a =/= b -> E! l e. G ( a e. l /\ b e. l ) ) /\ A. l e. G E. a e. P E. b e. P ( a =/= b /\ a e. l /\ b e. l ) /\ E. a e. P E. b e. P E. c e. P A. l e. G -. ( a e. l /\ b e. l /\ c e. l ) ) ) )
3	2	ibi 256	. . 3 |- ( G e. Plig -> ( A. a e. P A. b e. P ( a =/= b -> E! l e. G ( a e. l /\ b e. l ) ) /\ A. l e. G E. a e. P E. b e. P ( a =/= b /\ a e. l /\ b e. l ) /\ E. a e. P E. b e. P E. c e. P A. l e. G -. ( a e. l /\ b e. l /\ c e. l ) ) )
4		simp1 1061	. . 3 |- ( ( A. a e. P A. b e. P ( a =/= b -> E! l e. G ( a e. l /\ b e. l ) ) /\ A. l e. G E. a e. P E. b e. P ( a =/= b /\ a e. l /\ b e. l ) /\ E. a e. P E. b e. P E. c e. P A. l e. G -. ( a e. l /\ b e. l /\ c e. l ) ) -> A. a e. P A. b e. P ( a =/= b -> E! l e. G ( a e. l /\ b e. l ) ) )
5		simpl 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( a = A /\ b = B ) -> a = A )
6		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( a = A /\ b = B ) -> b = B )
7	5, 6	neeq12d 2855	. . . . . . . 8 |- ( ( a = A /\ b = B ) -> ( a =/= b <-> A =/= B ) )
8		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( a = A -> ( a e. l <-> A e. l ) )
9		eleq1 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( b = B -> ( b e. l <-> B e. l ) )
10	8, 9	bi2anan9 917	. . . . . . . . 9 |- ( ( a = A /\ b = B ) -> ( ( a e. l /\ b e. l ) <-> ( A e. l /\ B e. l ) ) )
11	10	reubidv 3126	. . . . . . . 8 |- ( ( a = A /\ b = B ) -> ( E! l e. G ( a e. l /\ b e. l ) <-> E! l e. G ( A e. l /\ B e. l ) ) )
12	7, 11	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( ( a = A /\ b = B ) -> ( ( a =/= b -> E! l e. G ( a e. l /\ b e. l ) ) <-> ( A =/= B -> E! l e. G ( A e. l /\ B e. l ) ) ) )
13	12	rspc2gv 3321	. . . . . 6 |- ( ( A e. P /\ B e. P ) -> ( A. a e. P A. b e. P ( a =/= b -> E! l e. G ( a e. l /\ b e. l ) ) -> ( A =/= B -> E! l e. G ( A e. l /\ B e. l ) ) ) )
14	13	com23 86	. . . . 5 |- ( ( A e. P /\ B e. P ) -> ( A =/= B -> ( A. a e. P A. b e. P ( a =/= b -> E! l e. G ( a e. l /\ b e. l ) ) -> E! l e. G ( A e. l /\ B e. l ) ) ) )
15	14	imp 445	. . . 4 |- ( ( ( A e. P /\ B e. P ) /\ A =/= B ) -> ( A. a e. P A. b e. P ( a =/= b -> E! l e. G ( a e. l /\ b e. l ) ) -> E! l e. G ( A e. l /\ B e. l ) ) )
16	15	com12 32	. . 3 |- ( A. a e. P A. b e. P ( a =/= b -> E! l e. G ( a e. l /\ b e. l ) ) -> ( ( ( A e. P /\ B e. P ) /\ A =/= B ) -> E! l e. G ( A e. l /\ B e. l ) ) )
17	3, 4, 16	3syl 18	. 2 |- ( G e. Plig -> ( ( ( A e. P /\ B e. P ) /\ A =/= B ) -> E! l e. G ( A e. l /\ B e. l ) ) )
18	17	imp 445	1 |- ( ( G e. Plig /\ ( ( A e. P /\ B e. P ) /\ A =/= B ) ) -> E! l e. G ( A e. l /\ B e. l ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   E!wreu 2914   U.cuni 4436   Pligcplig 27326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-v 3202  df-uni 4437  df-plig 27327

This theorem is referenced by: (None)