Theorem isrngo 33696

Description: The predicate "is a (unital) ring." Definition of ring with unit in [Schechter] p. 187. (Contributed by Jeff Hankins, 21-Nov-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
isring.1	|- X = ran G

Assertion

Ref	Expression
isrngo	|- ( H e. A -> ( <. G , H >. e. RingOps <-> ( ( G e. AbelOp /\ H : ( X X. X ) --> X ) /\ ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, G   x, H, y, z   x, X, y, z

Allowed substitution hints:   A( x, y, z)

Proof of Theorem isrngo

Dummy variables g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 4654	. . . 4 |- ( G RingOps H <-> <. G , H >. e. RingOps )
2		relrngo 33695	. . . . 5 |- Rel RingOps
3	2	brrelexi 5158	. . . 4 |- ( G RingOps H -> G e. _V )
4	1, 3	sylbir 225	. . 3 |- ( <. G , H >. e. RingOps -> G e. _V )
5	4	a1i 11	. 2 |- ( H e. A -> ( <. G , H >. e. RingOps -> G e. _V ) )
6		elex 3212	. . . 4 |- ( G e. AbelOp -> G e. _V )
7	6	ad2antrr 762	. . 3 |- ( ( ( G e. AbelOp /\ H : ( X X. X ) --> X ) /\ ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) ) ) -> G e. _V )
8	7	a1i 11	. 2 |- ( H e. A -> ( ( ( G e. AbelOp /\ H : ( X X. X ) --> X ) /\ ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) ) ) -> G e. _V ) )
9		df-rngo 33694	. . . . 5 |- RingOps = { <. g , h >. | ( ( g e. AbelOp /\ h : ( ran g X. ran g ) --> ran g ) /\ ( A. x e. ran g A. y e. ran g A. z e. ran g ( ( ( x h y ) h z ) = ( x h ( y h z ) ) /\ ( x h ( y g z ) ) = ( ( x h y ) g ( x h z ) ) /\ ( ( x g y ) h z ) = ( ( x h z ) g ( y h z ) ) ) /\ E. x e. ran g A. y e. ran g ( ( x h y ) = y /\ ( y h x ) = y ) ) ) }
10	9	eleq2i 2693	. . . 4 |- ( <. G , H >. e. RingOps <-> <. G , H >. e. { <. g , h >. | ( ( g e. AbelOp /\ h : ( ran g X. ran g ) --> ran g ) /\ ( A. x e. ran g A. y e. ran g A. z e. ran g ( ( ( x h y ) h z ) = ( x h ( y h z ) ) /\ ( x h ( y g z ) ) = ( ( x h y ) g ( x h z ) ) /\ ( ( x g y ) h z ) = ( ( x h z ) g ( y h z ) ) ) /\ E. x e. ran g A. y e. ran g ( ( x h y ) = y /\ ( y h x ) = y ) ) ) } )
11		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> g = G )
12	11	eleq1d 2686	. . . . . . 7 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( g e. AbelOp <-> G e. AbelOp ) )
13		simpr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> h = H )
14	11	rneqd 5353	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> ran g = ran G )
15		isring.1	. . . . . . . . . 10 |- X = ran G
16	14, 15	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> ran g = X )
17	16	sqxpeqd 5141	. . . . . . . 8 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( ran g X. ran g ) = ( X X. X ) )
18	13, 17, 16	feq123d 6034	. . . . . . 7 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( h : ( ran g X. ran g ) --> ran g <-> H : ( X X. X ) --> X ) )
19	12, 18	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( ( g e. AbelOp /\ h : ( ran g X. ran g ) --> ran g ) <-> ( G e. AbelOp /\ H : ( X X. X ) --> X ) ) )
20	13	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( x h y ) = ( x H y ) )
21		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> z = z )
22	13, 20, 21	oveq123d 6671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( ( x h y ) h z ) = ( ( x H y ) H z ) )
23		eqidd 2623	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> x = x )
24	13	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( y h z ) = ( y H z ) )
25	13, 23, 24	oveq123d 6671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( x h ( y h z ) ) = ( x H ( y H z ) ) )
26	22, 25	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( ( ( x h y ) h z ) = ( x h ( y h z ) ) <-> ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) ) )
27	11	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( y g z ) = ( y G z ) )
28	13, 23, 27	oveq123d 6671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( x h ( y g z ) ) = ( x H ( y G z ) ) )
29	13	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( x h z ) = ( x H z ) )
30	11, 20, 29	oveq123d 6671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( ( x h y ) g ( x h z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) )
31	28, 30	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( ( x h ( y g z ) ) = ( ( x h y ) g ( x h z ) ) <-> ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) ) )
32	11	oveqd 6667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( x g y ) = ( x G y ) )
33	13, 32, 21	oveq123d 6671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( ( x g y ) h z ) = ( ( x G y ) H z ) )
34	11, 29, 24	oveq123d 6671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( ( x h z ) g ( y h z ) ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )
35	33, 34	eqeq12d 2637	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( ( ( x g y ) h z ) = ( ( x h z ) g ( y h z ) ) <-> ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) )
36	26, 31, 35	3anbi123d 1399	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( ( ( ( x h y ) h z ) = ( x h ( y h z ) ) /\ ( x h ( y g z ) ) = ( ( x h y ) g ( x h z ) ) /\ ( ( x g y ) h z ) = ( ( x h z ) g ( y h z ) ) ) <-> ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) )
37	16, 36	raleqbidv 3152	. . . . . . . . 9 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( A. z e. ran g ( ( ( x h y ) h z ) = ( x h ( y h z ) ) /\ ( x h ( y g z ) ) = ( ( x h y ) g ( x h z ) ) /\ ( ( x g y ) h z ) = ( ( x h z ) g ( y h z ) ) ) <-> A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) )
38	16, 37	raleqbidv 3152	. . . . . . . 8 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( A. y e. ran g A. z e. ran g ( ( ( x h y ) h z ) = ( x h ( y h z ) ) /\ ( x h ( y g z ) ) = ( ( x h y ) g ( x h z ) ) /\ ( ( x g y ) h z ) = ( ( x h z ) g ( y h z ) ) ) <-> A. y e. X A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) )
39	16, 38	raleqbidv 3152	. . . . . . 7 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( A. x e. ran g A. y e. ran g A. z e. ran g ( ( ( x h y ) h z ) = ( x h ( y h z ) ) /\ ( x h ( y g z ) ) = ( ( x h y ) g ( x h z ) ) /\ ( ( x g y ) h z ) = ( ( x h z ) g ( y h z ) ) ) <-> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) )
40	20	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( ( x h y ) = y <-> ( x H y ) = y ) )
41	13	oveqd 6667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( y h x ) = ( y H x ) )
42	41	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( ( y h x ) = y <-> ( y H x ) = y ) )
43	40, 42	anbi12d 747	. . . . . . . . 9 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( ( ( x h y ) = y /\ ( y h x ) = y ) <-> ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) ) )
44	16, 43	raleqbidv 3152	. . . . . . . 8 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( A. y e. ran g ( ( x h y ) = y /\ ( y h x ) = y ) <-> A. y e. X ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) ) )
45	16, 44	rexeqbidv 3153	. . . . . . 7 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( E. x e. ran g A. y e. ran g ( ( x h y ) = y /\ ( y h x ) = y ) <-> E. x e. X A. y e. X ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) ) )
46	39, 45	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( ( A. x e. ran g A. y e. ran g A. z e. ran g ( ( ( x h y ) h z ) = ( x h ( y h z ) ) /\ ( x h ( y g z ) ) = ( ( x h y ) g ( x h z ) ) /\ ( ( x g y ) h z ) = ( ( x h z ) g ( y h z ) ) ) /\ E. x e. ran g A. y e. ran g ( ( x h y ) = y /\ ( y h x ) = y ) ) <-> ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) ) ) )
47	19, 46	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( ( g = G /\ h = H ) -> ( ( ( g e. AbelOp /\ h : ( ran g X. ran g ) --> ran g ) /\ ( A. x e. ran g A. y e. ran g A. z e. ran g ( ( ( x h y ) h z ) = ( x h ( y h z ) ) /\ ( x h ( y g z ) ) = ( ( x h y ) g ( x h z ) ) /\ ( ( x g y ) h z ) = ( ( x h z ) g ( y h z ) ) ) /\ E. x e. ran g A. y e. ran g ( ( x h y ) = y /\ ( y h x ) = y ) ) ) <-> ( ( G e. AbelOp /\ H : ( X X. X ) --> X ) /\ ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) ) ) ) )
48	47	opelopabga 4988	. . . 4 |- ( ( G e. _V /\ H e. A ) -> ( <. G , H >. e. { <. g , h >. | ( ( g e. AbelOp /\ h : ( ran g X. ran g ) --> ran g ) /\ ( A. x e. ran g A. y e. ran g A. z e. ran g ( ( ( x h y ) h z ) = ( x h ( y h z ) ) /\ ( x h ( y g z ) ) = ( ( x h y ) g ( x h z ) ) /\ ( ( x g y ) h z ) = ( ( x h z ) g ( y h z ) ) ) /\ E. x e. ran g A. y e. ran g ( ( x h y ) = y /\ ( y h x ) = y ) ) ) } <-> ( ( G e. AbelOp /\ H : ( X X. X ) --> X ) /\ ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) ) ) ) )
49	10, 48	syl5bb 272	. . 3 |- ( ( G e. _V /\ H e. A ) -> ( <. G , H >. e. RingOps <-> ( ( G e. AbelOp /\ H : ( X X. X ) --> X ) /\ ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) ) ) ) )
50	49	expcom 451	. 2 |- ( H e. A -> ( G e. _V -> ( <. G , H >. e. RingOps <-> ( ( G e. AbelOp /\ H : ( X X. X ) --> X ) /\ ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) ) ) ) ) )
51	5, 8, 50	pm5.21ndd 369	1 |- ( H e. A -> ( <. G , H >. e. RingOps <-> ( ( G e. AbelOp /\ H : ( X X. X ) --> X ) /\ ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) /\ E. x e. X A. y e. X ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   <.cop 4183   class class class wbr 4653   {copab 4712   X. cxp 5112   ran crn 5115   -->wf 5884  (class class class)co 6650   AbelOpcablo 27398   RingOpscrngo 33693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-rngo 33694

This theorem is referenced by:  isrngod  33697  rngoi  33698