Theorem isrngod 33697

Description: Conditions that determine a ring. (Changed label from isringd 18585 to isrngod 33697-NM 2-Aug-2013.) (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
isringod.1	|- ( ph -> G e. AbelOp )
isringod.2	|- ( ph -> X = ran G )
isringod.3	|- ( ph -> H : ( X X. X ) --> X )
isringod.4	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) )
isringod.5	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) )
isringod.6	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )
isringod.7	|- ( ph -> U e. X )
isringod.8	|- ( ( ph /\ y e. X ) -> ( U H y ) = y )
isringod.9	|- ( ( ph /\ y e. X ) -> ( y H U ) = y )

Assertion

Ref	Expression
isrngod	|- ( ph -> <. G , H >. e. RingOps )

Distinct variable groups:   ph, x, y, z   x, G, y, z   x, H, y, z   x, X, y, z   x, U, y

Allowed substitution hint:   U( z)

Proof of Theorem isrngod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isringod.1	. . 3 |- ( ph -> G e. AbelOp )
2		isringod.3	. . . 4 |- ( ph -> H : ( X X. X ) --> X )
3		isringod.2	. . . . . 6 |- ( ph -> X = ran G )
4	3	sqxpeqd 5141	. . . . 5 |- ( ph -> ( X X. X ) = ( ran G X. ran G ) )
5	4, 3	feq23d 6040	. . . 4 |- ( ph -> ( H : ( X X. X ) --> X <-> H : ( ran G X. ran G ) --> ran G ) )
6	2, 5	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> H : ( ran G X. ran G ) --> ran G )
7		isringod.4	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) )
8		isringod.5	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) )
9		isringod.6	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) )
10	7, 8, 9	3jca 1242	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) )
11	10	ralrimivvva 2972	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) )
12	3	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) <-> A. z e. ran G ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) )
13	3, 12	raleqbidv 3152	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. y e. X A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) <-> A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) )
14	3, 13	raleqbidv 3152	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. x e. X A. y e. X A. z e. X ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) <-> A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) ) )
15	11, 14	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) )
16		isringod.7	. . . . . 6 |- ( ph -> U e. X )
17		isringod.8	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> ( U H y ) = y )
18		isringod.9	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> ( y H U ) = y )
19	17, 18	jca 554	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. X ) -> ( ( U H y ) = y /\ ( y H U ) = y ) )
20	19	ralrimiva 2966	. . . . . 6 |- ( ph -> A. y e. X ( ( U H y ) = y /\ ( y H U ) = y ) )
21		oveq1 6657	. . . . . . . . . 10 |- ( x = U -> ( x H y ) = ( U H y ) )
22	21	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( x = U -> ( ( x H y ) = y <-> ( U H y ) = y ) )
23		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 |- ( x = U -> ( y H x ) = ( y H U ) )
24	23	eqeq1d 2624	. . . . . . . . 9 |- ( x = U -> ( ( y H x ) = y <-> ( y H U ) = y ) )
25	22, 24	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( x = U -> ( ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) <-> ( ( U H y ) = y /\ ( y H U ) = y ) ) )
26	25	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( x = U -> ( A. y e. X ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) <-> A. y e. X ( ( U H y ) = y /\ ( y H U ) = y ) ) )
27	26	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( U e. X /\ A. y e. X ( ( U H y ) = y /\ ( y H U ) = y ) ) -> E. x e. X A. y e. X ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) )
28	16, 20, 27	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. X A. y e. X ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) )
29	3	raleqdv 3144	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. y e. X ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) <-> A. y e. ran G ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) ) )
30	3, 29	rexeqbidv 3153	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. X A. y e. X ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) <-> E. x e. ran G A. y e. ran G ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) ) )
31	28, 30	mpbid 222	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. ran G A. y e. ran G ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) )
32	15, 31	jca 554	. . 3 |- ( ph -> ( A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) /\ E. x e. ran G A. y e. ran G ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) ) )
33	1, 6, 32	jca31 557	. 2 |- ( ph -> ( ( G e. AbelOp /\ H : ( ran G X. ran G ) --> ran G ) /\ ( A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) /\ E. x e. ran G A. y e. ran G ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) ) ) )
34		rnexg 7098	. . . . . 6 |- ( G e. AbelOp -> ran G e. _V )
35	1, 34	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ran G e. _V )
36		xpexg 6960	. . . . 5 |- ( ( ran G e. _V /\ ran G e. _V ) -> ( ran G X. ran G ) e. _V )
37	35, 35, 36	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( ran G X. ran G ) e. _V )
38		fex 6490	. . . 4 |- ( ( H : ( ran G X. ran G ) --> ran G /\ ( ran G X. ran G ) e. _V ) -> H e. _V )
39	6, 37, 38	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> H e. _V )
40		eqid 2622	. . . 4 |- ran G = ran G
41	40	isrngo 33696	. . 3 |- ( H e. _V -> ( <. G , H >. e. RingOps <-> ( ( G e. AbelOp /\ H : ( ran G X. ran G ) --> ran G ) /\ ( A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) /\ E. x e. ran G A. y e. ran G ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) ) ) ) )
42	39, 41	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( <. G , H >. e. RingOps <-> ( ( G e. AbelOp /\ H : ( ran G X. ran G ) --> ran G ) /\ ( A. x e. ran G A. y e. ran G A. z e. ran G ( ( ( x H y ) H z ) = ( x H ( y H z ) ) /\ ( x H ( y G z ) ) = ( ( x H y ) G ( x H z ) ) /\ ( ( x G y ) H z ) = ( ( x H z ) G ( y H z ) ) ) /\ E. x e. ran G A. y e. ran G ( ( x H y ) = y /\ ( y H x ) = y ) ) ) ) )
43	33, 42	mpbird 247	1 |- ( ph -> <. G , H >. e. RingOps )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   <.cop 4183   X. cxp 5112   ran crn 5115   -->wf 5884  (class class class)co 6650   AbelOpcablo 27398   RingOpscrngo 33693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-rngo 33694

This theorem is referenced by:  iscringd  33797