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Theorem istrkg2d 30744
Description: Property of fulfilling dimension 2 axiom. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-May-2019.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
istrkg2d.p |- P = ( Base ` G )
istrkg2d.d |- .- = ( dist ` G )
istrkg2d.i |- I = (Itv ` G )
Assertion
Ref Expression
istrkg2d |- ( G e. TarskiG2D <-> ( G e. _V /\ ( E. x e. P E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) /\ A. x e. P A. y e. P A. z e. P A. u e. P A. v e. P ( ( ( ( x .- u ) = ( x .- v ) /\ ( y .- u ) = ( y .- v ) /\ ( z .- u ) = ( z .- v ) ) /\ u =/= v ) -> ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   u, .- , v, x, y, z   u, I, v, x, y, z   u, P, v, x, y, z
Allowed substitution hints:   G( x, y, z, v, u)
Proof of Theorem istrkg2d
Dummy variables d f i p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 istrkg2d.p . . 3 |- P = ( Base ` G )
2 istrkg2d.d . . 3 |- .- = ( dist ` G )
3 istrkg2d.i . . 3 |- I = (Itv ` G )
4 simp1 1061 . . . . . 6 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> p = P )
54eqcomd 2628 . . . . 5 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> P = p )
6 simp3 1063 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> i = I )
76eqcomd 2628 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> I = i )
87oveqd 6667 . . . . . . . . . 10 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( x I y ) = ( x i y ) )
98eleq2d 2687 . . . . . . . . 9 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( z e. ( x I y ) <-> z e. ( x i y ) ) )
107oveqd 6667 . . . . . . . . . 10 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( z I y ) = ( z i y ) )
1110eleq2d 2687 . . . . . . . . 9 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( x e. ( z I y ) <-> x e. ( z i y ) ) )
127oveqd 6667 . . . . . . . . . 10 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( x I z ) = ( x i z ) )
1312eleq2d 2687 . . . . . . . . 9 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( y e. ( x I z ) <-> y e. ( x i z ) ) )
149, 11, 133orbi123d 1398 . . . . . . . 8 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) <-> ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) )
1514notbid 308 . . . . . . 7 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) <-> -. ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) )
165, 15rexeqbidv 3153 . . . . . 6 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) <-> E. z e. p -. ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) )
175, 16rexeqbidv 3153 . . . . 5 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) <-> E. y e. p E. z e. p -. ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) )
185, 17rexeqbidv 3153 . . . 4 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( E. x e. P E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) <-> E. x e. p E. y e. p E. z e. p -. ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) )
19 simp2 1062 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> d = .- )
2019eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> .- = d )
2120oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( x .- u ) = ( x d u ) )
2220oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( x .- v ) = ( x d v ) )
2321, 22eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( x .- u ) = ( x .- v ) <-> ( x d u ) = ( x d v ) ) )
2420oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( y .- u ) = ( y d u ) )
2520oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( y .- v ) = ( y d v ) )
2624, 25eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( y .- u ) = ( y .- v ) <-> ( y d u ) = ( y d v ) ) )
2720oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( z .- u ) = ( z d u ) )
2820oveqd 6667 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( z .- v ) = ( z d v ) )
2927, 28eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( z .- u ) = ( z .- v ) <-> ( z d u ) = ( z d v ) ) )
3023, 26, 293anbi123d 1399 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( ( x .- u ) = ( x .- v ) /\ ( y .- u ) = ( y .- v ) /\ ( z .- u ) = ( z .- v ) ) <-> ( ( x d u ) = ( x d v ) /\ ( y d u ) = ( y d v ) /\ ( z d u ) = ( z d v ) ) ) )
3130anbi1d 741 . . . . . . . . . 10 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( ( ( x .- u ) = ( x .- v ) /\ ( y .- u ) = ( y .- v ) /\ ( z .- u ) = ( z .- v ) ) /\ u =/= v ) <-> ( ( ( x d u ) = ( x d v ) /\ ( y d u ) = ( y d v ) /\ ( z d u ) = ( z d v ) ) /\ u =/= v ) ) )
3231, 14imbi12d 334 . . . . . . . . 9 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( ( ( ( x .- u ) = ( x .- v ) /\ ( y .- u ) = ( y .- v ) /\ ( z .- u ) = ( z .- v ) ) /\ u =/= v ) -> ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> ( ( ( ( x d u ) = ( x d v ) /\ ( y d u ) = ( y d v ) /\ ( z d u ) = ( z d v ) ) /\ u =/= v ) -> ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) ) )
335, 32raleqbidv 3152 . . . . . . . 8 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( A. v e. P ( ( ( ( x .- u ) = ( x .- v ) /\ ( y .- u ) = ( y .- v ) /\ ( z .- u ) = ( z .- v ) ) /\ u =/= v ) -> ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> A. v e. p ( ( ( ( x d u ) = ( x d v ) /\ ( y d u ) = ( y d v ) /\ ( z d u ) = ( z d v ) ) /\ u =/= v ) -> ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) ) )
345, 33raleqbidv 3152 . . . . . . 7 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( A. u e. P A. v e. P ( ( ( ( x .- u ) = ( x .- v ) /\ ( y .- u ) = ( y .- v ) /\ ( z .- u ) = ( z .- v ) ) /\ u =/= v ) -> ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> A. u e. p A. v e. p ( ( ( ( x d u ) = ( x d v ) /\ ( y d u ) = ( y d v ) /\ ( z d u ) = ( z d v ) ) /\ u =/= v ) -> ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) ) )
355, 34raleqbidv 3152 . . . . . 6 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( A. z e. P A. u e. P A. v e. P ( ( ( ( x .- u ) = ( x .- v ) /\ ( y .- u ) = ( y .- v ) /\ ( z .- u ) = ( z .- v ) ) /\ u =/= v ) -> ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> A. z e. p A. u e. p A. v e. p ( ( ( ( x d u ) = ( x d v ) /\ ( y d u ) = ( y d v ) /\ ( z d u ) = ( z d v ) ) /\ u =/= v ) -> ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) ) )
365, 35raleqbidv 3152 . . . . 5 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( A. y e. P A. z e. P A. u e. P A. v e. P ( ( ( ( x .- u ) = ( x .- v ) /\ ( y .- u ) = ( y .- v ) /\ ( z .- u ) = ( z .- v ) ) /\ u =/= v ) -> ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> A. y e. p A. z e. p A. u e. p A. v e. p ( ( ( ( x d u ) = ( x d v ) /\ ( y d u ) = ( y d v ) /\ ( z d u ) = ( z d v ) ) /\ u =/= v ) -> ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) ) )
375, 36raleqbidv 3152 . . . 4 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( A. x e. P A. y e. P A. z e. P A. u e. P A. v e. P ( ( ( ( x .- u ) = ( x .- v ) /\ ( y .- u ) = ( y .- v ) /\ ( z .- u ) = ( z .- v ) ) /\ u =/= v ) -> ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) <-> A. x e. p A. y e. p A. z e. p A. u e. p A. v e. p ( ( ( ( x d u ) = ( x d v ) /\ ( y d u ) = ( y d v ) /\ ( z d u ) = ( z d v ) ) /\ u =/= v ) -> ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) ) )
3818, 37anbi12d 747 . . 3 |- ( ( p = P /\ d = .- /\ i = I ) -> ( ( E. x e. P E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) /\ A. x e. P A. y e. P A. z e. P A. u e. P A. v e. P ( ( ( ( x .- u ) = ( x .- v ) /\ ( y .- u ) = ( y .- v ) /\ ( z .- u ) = ( z .- v ) ) /\ u =/= v ) -> ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) <-> ( E. x e. p E. y e. p E. z e. p -. ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) /\ A. x e. p A. y e. p A. z e. p A. u e. p A. v e. p ( ( ( ( x d u ) = ( x d v ) /\ ( y d u ) = ( y d v ) /\ ( z d u ) = ( z d v ) ) /\ u =/= v ) -> ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) ) ) )
391, 2, 3, 38sbcie3s 15917 . 2 |- ( f = G -> ( [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( dist ` f ) / d ]. [. (Itv ` f ) / i ]. ( E. x e. p E. y e. p E. z e. p -. ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) /\ A. x e. p A. y e. p A. z e. p A. u e. p A. v e. p ( ( ( ( x d u ) = ( x d v ) /\ ( y d u ) = ( y d v ) /\ ( z d u ) = ( z d v ) ) /\ u =/= v ) -> ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) ) <-> ( E. x e. P E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) /\ A. x e. P A. y e. P A. z e. P A. u e. P A. v e. P ( ( ( ( x .- u ) = ( x .- v ) /\ ( y .- u ) = ( y .- v ) /\ ( z .- u ) = ( z .- v ) ) /\ u =/= v ) -> ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
40 df-trkg2d 30743 . 2 |- TarskiG2D = { f | [. ( Base ` f ) / p ]. [. ( dist ` f ) / d ]. [. (Itv ` f ) / i ]. ( E. x e. p E. y e. p E. z e. p -. ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) /\ A. x e. p A. y e. p A. z e. p A. u e. p A. v e. p ( ( ( ( x d u ) = ( x d v ) /\ ( y d u ) = ( y d v ) /\ ( z d u ) = ( z d v ) ) /\ u =/= v ) -> ( z e. ( x i y ) \/ x e. ( z i y ) \/ y e. ( x i z ) ) ) ) }
4139, 40elab4g 3355 1 |- ( G e. TarskiG2D <-> ( G e. _V /\ ( E. x e. P E. y e. P E. z e. P -. ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) /\ A. x e. P A. y e. P A. z e. P A. u e. P A. v e. P ( ( ( ( x .- u ) = ( x .- v ) /\ ( y .- u ) = ( y .- v ) /\ ( z .- u ) = ( z .- v ) ) /\ u =/= v ) -> ( z e. ( x I y ) \/ x e. ( z I y ) \/ y e. ( x I z ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   \/ w3o 1036   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   distcds 15950  Itvcitv 25335  TarskiG2Dcstrkg2d 30742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-ov 6653  df-trkg2d 30743
This theorem is referenced by:  axtglowdim2OLD  30745  axtgupdim2OLD  30746
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