Theorem itg2lr 23497

Description: Sufficient condition for elementhood in the set L. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
itg2val.1	|- L = { x | E. g e. dom S.1 ( g oR <_ F /\ x = ( S.1 ` g ) ) }

Assertion

Ref	Expression
itg2lr	|- ( ( G e. dom S.1 /\ G oR <_ F ) -> ( S.1 ` G ) e. L )

Distinct variable groups:   x, g, F   g, G, x

Allowed substitution hints:   L( x, g)

Proof of Theorem itg2lr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- ( S.1 ` G ) = ( S.1 ` G )
2		breq1 4656	. . . . 5 |- ( g = G -> ( g oR <_ F <-> G oR <_ F ) )
3		fveq2 6191	. . . . . 6 |- ( g = G -> ( S.1 ` g ) = ( S.1 ` G ) )
4	3	eqeq2d 2632	. . . . 5 |- ( g = G -> ( ( S.1 ` G ) = ( S.1 ` g ) <-> ( S.1 ` G ) = ( S.1 ` G ) ) )
5	2, 4	anbi12d 747	. . . 4 |- ( g = G -> ( ( g oR <_ F /\ ( S.1 ` G ) = ( S.1 ` g ) ) <-> ( G oR <_ F /\ ( S.1 ` G ) = ( S.1 ` G ) ) ) )
6	5	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( G e. dom S.1 /\ ( G oR <_ F /\ ( S.1 ` G ) = ( S.1 ` G ) ) ) -> E. g e. dom S.1 ( g oR <_ F /\ ( S.1 ` G ) = ( S.1 ` g ) ) )
7	1, 6	mpanr2 720	. 2 |- ( ( G e. dom S.1 /\ G oR <_ F ) -> E. g e. dom S.1 ( g oR <_ F /\ ( S.1 ` G ) = ( S.1 ` g ) ) )
8		itg2val.1	. . 3 |- L = { x | E. g e. dom S.1 ( g oR <_ F /\ x = ( S.1 ` g ) ) }
9	8	itg2l 23496	. 2 |- ( ( S.1 ` G ) e. L <-> E. g e. dom S.1 ( g oR <_ F /\ ( S.1 ` G ) = ( S.1 ` g ) ) )
10	7, 9	sylibr 224	1 |- ( ( G e. dom S.1 /\ G oR <_ F ) -> ( S.1 ` G ) e. L )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   E.wrex 2913   class class class wbr 4653   dom cdm 5114   ` cfv 5888   oRcofr 6896   <_ cle 10075   S.1citg1 23384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896

This theorem is referenced by:  itg2ub  23500