Theorem iunpw 6978

Description: An indexed union of a power class in terms of the power class of the union of its index. Part of Exercise 24(b) of [Enderton] p. 33. (Contributed by NM, 29-Nov-2003.)

Hypothesis

Ref	Expression
iunpw.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
iunpw	|- ( E. x e. A x = U. A <-> ~P U. A = U_ x e. A ~P x )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem iunpw

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq2 3627	. . . . . . . 8 |- ( x = U. A -> ( y C_ x <-> y C_ U. A ) )
2	1	biimprcd 240	. . . . . . 7 |- ( y C_ U. A -> ( x = U. A -> y C_ x ) )
3	2	reximdv 3016	. . . . . 6 |- ( y C_ U. A -> ( E. x e. A x = U. A -> E. x e. A y C_ x ) )
4	3	com12 32	. . . . 5 |- ( E. x e. A x = U. A -> ( y C_ U. A -> E. x e. A y C_ x ) )
5		ssiun 4562	. . . . . 6 |- ( E. x e. A y C_ x -> y C_ U_ x e. A x )
6		uniiun 4573	. . . . . 6 |- U. A = U_ x e. A x
7	5, 6	syl6sseqr 3652	. . . . 5 |- ( E. x e. A y C_ x -> y C_ U. A )
8	4, 7	impbid1 215	. . . 4 |- ( E. x e. A x = U. A -> ( y C_ U. A <-> E. x e. A y C_ x ) )
9		selpw 4165	. . . 4 |- ( y e. ~P U. A <-> y C_ U. A )
10		eliun 4524	. . . . 5 |- ( y e. U_ x e. A ~P x <-> E. x e. A y e. ~P x )
11		selpw 4165	. . . . . 6 |- ( y e. ~P x <-> y C_ x )
12	11	rexbii 3041	. . . . 5 |- ( E. x e. A y e. ~P x <-> E. x e. A y C_ x )
13	10, 12	bitri 264	. . . 4 |- ( y e. U_ x e. A ~P x <-> E. x e. A y C_ x )
14	8, 9, 13	3bitr4g 303	. . 3 |- ( E. x e. A x = U. A -> ( y e. ~P U. A <-> y e. U_ x e. A ~P x ) )
15	14	eqrdv 2620	. 2 |- ( E. x e. A x = U. A -> ~P U. A = U_ x e. A ~P x )
16		ssid 3624	. . . . 5 |- U. A C_ U. A
17		iunpw.1	. . . . . . . 8 |- A e. _V
18	17	uniex 6953	. . . . . . 7 |- U. A e. _V
19	18	elpw 4164	. . . . . 6 |- ( U. A e. ~P U. A <-> U. A C_ U. A )
20		eleq2 2690	. . . . . 6 |- ( ~P U. A = U_ x e. A ~P x -> ( U. A e. ~P U. A <-> U. A e. U_ x e. A ~P x ) )
21	19, 20	syl5bbr 274	. . . . 5 |- ( ~P U. A = U_ x e. A ~P x -> ( U. A C_ U. A <-> U. A e. U_ x e. A ~P x ) )
22	16, 21	mpbii 223	. . . 4 |- ( ~P U. A = U_ x e. A ~P x -> U. A e. U_ x e. A ~P x )
23		eliun 4524	. . . 4 |- ( U. A e. U_ x e. A ~P x <-> E. x e. A U. A e. ~P x )
24	22, 23	sylib 208	. . 3 |- ( ~P U. A = U_ x e. A ~P x -> E. x e. A U. A e. ~P x )
25		elssuni 4467	. . . . . . 7 |- ( x e. A -> x C_ U. A )
26		elpwi 4168	. . . . . . 7 |- ( U. A e. ~P x -> U. A C_ x )
27	25, 26	anim12i 590	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ U. A e. ~P x ) -> ( x C_ U. A /\ U. A C_ x ) )
28		eqss 3618	. . . . . 6 |- ( x = U. A <-> ( x C_ U. A /\ U. A C_ x ) )
29	27, 28	sylibr 224	. . . . 5 |- ( ( x e. A /\ U. A e. ~P x ) -> x = U. A )
30	29	ex 450	. . . 4 |- ( x e. A -> ( U. A e. ~P x -> x = U. A ) )
31	30	reximia 3009	. . 3 |- ( E. x e. A U. A e. ~P x -> E. x e. A x = U. A )
32	24, 31	syl 17	. 2 |- ( ~P U. A = U_ x e. A ~P x -> E. x e. A x = U. A )
33	15, 32	impbii 199	1 |- ( E. x e. A x = U. A <-> ~P U. A = U_ x e. A ~P x )

Syntax hints:   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   U_ciun 4520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-in 3581  df-ss 3588  df-pw 4160  df-uni 4437  df-iun 4522

This theorem is referenced by: (None)