Theorem iunxdif3 4606

Description: An indexed union where some terms are the empty set. See iunxdif2 4568. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
iunxdif3.1	|- F/_ x E

Assertion

Ref	Expression
iunxdif3	|- ( A. x e. E B = (/) -> U_ x e. ( A \ E ) B = U_ x e. A B )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   E( x)

Proof of Theorem iunxdif3

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 3834	. . . . . 6 |- ( A i^i E ) C_ E
2		nfcv 2764	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x A
3		iunxdif3.1	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x E
4	2, 3	nfin 3820	. . . . . . . . 9 |- F/_ x ( A i^i E )
5	4, 3	ssrexf 3665	. . . . . . . 8 |- ( ( A i^i E ) C_ E -> ( E. x e. ( A i^i E ) y e. B -> E. x e. E y e. B ) )
6		eliun 4524	. . . . . . . 8 |- ( y e. U_ x e. ( A i^i E ) B <-> E. x e. ( A i^i E ) y e. B )
7		eliun 4524	. . . . . . . 8 |- ( y e. U_ x e. E B <-> E. x e. E y e. B )
8	5, 6, 7	3imtr4g 285	. . . . . . 7 |- ( ( A i^i E ) C_ E -> ( y e. U_ x e. ( A i^i E ) B -> y e. U_ x e. E B ) )
9	8	ssrdv 3609	. . . . . 6 |- ( ( A i^i E ) C_ E -> U_ x e. ( A i^i E ) B C_ U_ x e. E B )
10	1, 9	ax-mp 5	. . . . 5 |- U_ x e. ( A i^i E ) B C_ U_ x e. E B
11		iuneq2 4537	. . . . . 6 |- ( A. x e. E B = (/) -> U_ x e. E B = U_ x e. E (/) )
12		iun0 4576	. . . . . 6 |- U_ x e. E (/) = (/)
13	11, 12	syl6eq 2672	. . . . 5 |- ( A. x e. E B = (/) -> U_ x e. E B = (/) )
14	10, 13	syl5sseq 3653	. . . 4 |- ( A. x e. E B = (/) -> U_ x e. ( A i^i E ) B C_ (/) )
15		ss0 3974	. . . 4 |- ( U_ x e. ( A i^i E ) B C_ (/) -> U_ x e. ( A i^i E ) B = (/) )
16	14, 15	syl 17	. . 3 |- ( A. x e. E B = (/) -> U_ x e. ( A i^i E ) B = (/) )
17	16	uneq1d 3766	. 2 |- ( A. x e. E B = (/) -> ( U_ x e. ( A i^i E ) B u. U_ x e. ( A \ E ) B ) = ( (/) u. U_ x e. ( A \ E ) B ) )
18		iunxun 4605	. . . 4 |- U_ x e. ( ( A i^i E ) u. ( A \ E ) ) B = ( U_ x e. ( A i^i E ) B u. U_ x e. ( A \ E ) B )
19		inundif 4046	. . . . 5 |- ( ( A i^i E ) u. ( A \ E ) ) = A
20	19	nfth 1727	. . . . . 6 |- F/ x ( ( A i^i E ) u. ( A \ E ) ) = A
21	2, 3	nfdif 3731	. . . . . . 7 |- F/_ x ( A \ E )
22	4, 21	nfun 3769	. . . . . 6 |- F/_ x ( ( A i^i E ) u. ( A \ E ) )
23		id 22	. . . . . 6 |- ( ( ( A i^i E ) u. ( A \ E ) ) = A -> ( ( A i^i E ) u. ( A \ E ) ) = A )
24		eqidd 2623	. . . . . 6 |- ( ( ( A i^i E ) u. ( A \ E ) ) = A -> B = B )
25	20, 22, 2, 23, 24	iuneq12df 4544	. . . . 5 |- ( ( ( A i^i E ) u. ( A \ E ) ) = A -> U_ x e. ( ( A i^i E ) u. ( A \ E ) ) B = U_ x e. A B )
26	19, 25	ax-mp 5	. . . 4 |- U_ x e. ( ( A i^i E ) u. ( A \ E ) ) B = U_ x e. A B
27	18, 26	eqtr3i 2646	. . 3 |- ( U_ x e. ( A i^i E ) B u. U_ x e. ( A \ E ) B ) = U_ x e. A B
28	27	a1i 11	. 2 |- ( A. x e. E B = (/) -> ( U_ x e. ( A i^i E ) B u. U_ x e. ( A \ E ) B ) = U_ x e. A B )
29		uncom 3757	. . . 4 |- ( (/) u. U_ x e. ( A \ E ) B ) = ( U_ x e. ( A \ E ) B u. (/) )
30		un0 3967	. . . 4 |- ( U_ x e. ( A \ E ) B u. (/) ) = U_ x e. ( A \ E ) B
31	29, 30	eqtri 2644	. . 3 |- ( (/) u. U_ x e. ( A \ E ) B ) = U_ x e. ( A \ E ) B
32	31	a1i 11	. 2 |- ( A. x e. E B = (/) -> ( (/) u. U_ x e. ( A \ E ) B ) = U_ x e. ( A \ E ) B )
33	17, 28, 32	3eqtr3rd 2665	1 |- ( A. x e. E B = (/) -> U_ x e. ( A \ E ) B = U_ x e. A B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   F/_wnfc 2751   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-iun 4522

This theorem is referenced by:  aciunf1  29463  ovnsubadd2lem  40859