Theorem kmlem4 8975

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.)

Assertion

Ref	Expression
kmlem4	|- ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> ( ( z \ U. ( x \ { z } ) ) i^i w ) = (/) )

Distinct variable group:   x, w, z

Proof of Theorem kmlem4

Dummy variables v y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2689	. . . . . . 7 |- ( v = w -> ( v e. x <-> w e. x ) )
2		neeq2 2857	. . . . . . 7 |- ( v = w -> ( z =/= v <-> z =/= w ) )
3	1, 2	anbi12d 747	. . . . . 6 |- ( v = w -> ( ( v e. x /\ z =/= v ) <-> ( w e. x /\ z =/= w ) ) )
4		elequ2 2004	. . . . . . 7 |- ( v = w -> ( y e. v <-> y e. w ) )
5	4	notbid 308	. . . . . 6 |- ( v = w -> ( -. y e. v <-> -. y e. w ) )
6	3, 5	imbi12d 334	. . . . 5 |- ( v = w -> ( ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) <-> ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> -. y e. w ) ) )
7	6	spv 2260	. . . 4 |- ( A. v ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) -> ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> -. y e. w ) )
8		eldif 3584	. . . . 5 |- ( y e. ( z \ U. ( x \ { z } ) ) <-> ( y e. z /\ -. y e. U. ( x \ { z } ) ) )
9		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( y e. z /\ -. y e. U. ( x \ { z } ) ) -> -. y e. U. ( x \ { z } ) )
10		eluni 4439	. . . . . . . 8 |- ( y e. U. ( x \ { z } ) <-> E. v ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) )
11	10	notbii 310	. . . . . . 7 |- ( -. y e. U. ( x \ { z } ) <-> -. E. v ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) )
12		alnex 1706	. . . . . . 7 |- ( A. v -. ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) <-> -. E. v ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) )
13		con2b 349	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. v -> -. v e. ( x \ { z } ) ) <-> ( v e. ( x \ { z } ) -> -. y e. v ) )
14		imnan 438	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. v -> -. v e. ( x \ { z } ) ) <-> -. ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) )
15		eldifsn 4317	. . . . . . . . . . 11 |- ( v e. ( x \ { z } ) <-> ( v e. x /\ v =/= z ) )
16		necom 2847	. . . . . . . . . . . 12 |- ( v =/= z <-> z =/= v )
17	16	anbi2i 730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. x /\ v =/= z ) <-> ( v e. x /\ z =/= v ) )
18	15, 17	bitri 264	. . . . . . . . . 10 |- ( v e. ( x \ { z } ) <-> ( v e. x /\ z =/= v ) )
19	18	imbi1i 339	. . . . . . . . 9 |- ( ( v e. ( x \ { z } ) -> -. y e. v ) <-> ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) )
20	13, 14, 19	3bitr3i 290	. . . . . . . 8 |- ( -. ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) <-> ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) )
21	20	albii 1747	. . . . . . 7 |- ( A. v -. ( y e. v /\ v e. ( x \ { z } ) ) <-> A. v ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) )
22	11, 12, 21	3bitr2i 288	. . . . . 6 |- ( -. y e. U. ( x \ { z } ) <-> A. v ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) )
23	9, 22	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( y e. z /\ -. y e. U. ( x \ { z } ) ) -> A. v ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) )
24	8, 23	sylbi 207	. . . 4 |- ( y e. ( z \ U. ( x \ { z } ) ) -> A. v ( ( v e. x /\ z =/= v ) -> -. y e. v ) )
25	7, 24	syl11 33	. . 3 |- ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> ( y e. ( z \ U. ( x \ { z } ) ) -> -. y e. w ) )
26	25	ralrimiv 2965	. 2 |- ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> A. y e. ( z \ U. ( x \ { z } ) ) -. y e. w )
27		disj 4017	. 2 |- ( ( ( z \ U. ( x \ { z } ) ) i^i w ) = (/) <-> A. y e. ( z \ U. ( x \ { z } ) ) -. y e. w )
28	26, 27	sylibr 224	1 |- ( ( w e. x /\ z =/= w ) -> ( ( z \ U. ( x \ { z } ) ) i^i w ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   \ cdif 3571   i^i cin 3573   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-v 3202  df-dif 3577  df-in 3581  df-nul 3916  df-sn 4178  df-uni 4437

This theorem is referenced by:  kmlem5  8976  kmlem11  8982