Theorem kmlem11 8982

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4, part of 3 => 4. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
kmlem9.1	|- A = { u | E. t e. x u = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) }

Assertion

Ref	Expression
kmlem11	|- ( z e. x -> ( z i^i U. A ) = ( z \ U. ( x \ { z } ) ) )

Distinct variable groups:   x, z, u, t   z, A

Allowed substitution hints:   A( x, u, t)

Proof of Theorem kmlem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kmlem9.1	. . . . . 6 |- A = { u | E. t e. x u = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) }
2	1	unieqi 4445	. . . . 5 |- U. A = U. { u | E. t e. x u = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) }
3		vex 3203	. . . . . . 7 |- t e. _V
4	3	difexi 4809	. . . . . 6 |- ( t \ U. ( x \ { t } ) ) e. _V
5	4	dfiun2 4554	. . . . 5 |- U_ t e. x ( t \ U. ( x \ { t } ) ) = U. { u | E. t e. x u = ( t \ U. ( x \ { t } ) ) }
6	2, 5	eqtr4i 2647	. . . 4 |- U. A = U_ t e. x ( t \ U. ( x \ { t } ) )
7	6	ineq2i 3811	. . 3 |- ( z i^i U. A ) = ( z i^i U_ t e. x ( t \ U. ( x \ { t } ) ) )
8		iunin2 4584	. . 3 |- U_ t e. x ( z i^i ( t \ U. ( x \ { t } ) ) ) = ( z i^i U_ t e. x ( t \ U. ( x \ { t } ) ) )
9	7, 8	eqtr4i 2647	. 2 |- ( z i^i U. A ) = U_ t e. x ( z i^i ( t \ U. ( x \ { t } ) ) )
10		undif2 4044	. . . . . 6 |- ( { z } u. ( x \ { z } ) ) = ( { z } u. x )
11		snssi 4339	. . . . . . 7 |- ( z e. x -> { z } C_ x )
12		ssequn1 3783	. . . . . . 7 |- ( { z } C_ x <-> ( { z } u. x ) = x )
13	11, 12	sylib 208	. . . . . 6 |- ( z e. x -> ( { z } u. x ) = x )
14	10, 13	syl5req 2669	. . . . 5 |- ( z e. x -> x = ( { z } u. ( x \ { z } ) ) )
15	14	iuneq1d 4545	. . . 4 |- ( z e. x -> U_ t e. x ( z i^i ( t \ U. ( x \ { t } ) ) ) = U_ t e. ( { z } u. ( x \ { z } ) ) ( z i^i ( t \ U. ( x \ { t } ) ) ) )
16		iunxun 4605	. . . . . 6 |- U_ t e. ( { z } u. ( x \ { z } ) ) ( z i^i ( t \ U. ( x \ { t } ) ) ) = ( U_ t e. { z } ( z i^i ( t \ U. ( x \ { t } ) ) ) u. U_ t e. ( x \ { z } ) ( z i^i ( t \ U. ( x \ { t } ) ) ) )
17		vex 3203	. . . . . . . 8 |- z e. _V
18		difeq1 3721	. . . . . . . . . 10 |- ( t = z -> ( t \ U. ( x \ { t } ) ) = ( z \ U. ( x \ { t } ) ) )
19		sneq 4187	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t = z -> { t } = { z } )
20	19	difeq2d 3728	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t = z -> ( x \ { t } ) = ( x \ { z } ) )
21	20	unieqd 4446	. . . . . . . . . . 11 |- ( t = z -> U. ( x \ { t } ) = U. ( x \ { z } ) )
22	21	difeq2d 3728	. . . . . . . . . 10 |- ( t = z -> ( z \ U. ( x \ { t } ) ) = ( z \ U. ( x \ { z } ) ) )
23	18, 22	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( t = z -> ( t \ U. ( x \ { t } ) ) = ( z \ U. ( x \ { z } ) ) )
24	23	ineq2d 3814	. . . . . . . 8 |- ( t = z -> ( z i^i ( t \ U. ( x \ { t } ) ) ) = ( z i^i ( z \ U. ( x \ { z } ) ) ) )
25	17, 24	iunxsn 4603	. . . . . . 7 |- U_ t e. { z } ( z i^i ( t \ U. ( x \ { t } ) ) ) = ( z i^i ( z \ U. ( x \ { z } ) ) )
26	25	uneq1i 3763	. . . . . 6 |- ( U_ t e. { z } ( z i^i ( t \ U. ( x \ { t } ) ) ) u. U_ t e. ( x \ { z } ) ( z i^i ( t \ U. ( x \ { t } ) ) ) ) = ( ( z i^i ( z \ U. ( x \ { z } ) ) ) u. U_ t e. ( x \ { z } ) ( z i^i ( t \ U. ( x \ { t } ) ) ) )
27	16, 26	eqtri 2644	. . . . 5 |- U_ t e. ( { z } u. ( x \ { z } ) ) ( z i^i ( t \ U. ( x \ { t } ) ) ) = ( ( z i^i ( z \ U. ( x \ { z } ) ) ) u. U_ t e. ( x \ { z } ) ( z i^i ( t \ U. ( x \ { t } ) ) ) )
28		eldifsni 4320	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. ( x \ { z } ) -> t =/= z )
29		incom 3805	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z i^i ( t \ U. ( x \ { t } ) ) ) = ( ( t \ U. ( x \ { t } ) ) i^i z )
30		kmlem4 8975	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. x /\ t =/= z ) -> ( ( t \ U. ( x \ { t } ) ) i^i z ) = (/) )
31	29, 30	syl5eq 2668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. x /\ t =/= z ) -> ( z i^i ( t \ U. ( x \ { t } ) ) ) = (/) )
32	31	ex 450	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. x -> ( t =/= z -> ( z i^i ( t \ U. ( x \ { t } ) ) ) = (/) ) )
33	28, 32	syl5 34	. . . . . . . . 9 |- ( z e. x -> ( t e. ( x \ { z } ) -> ( z i^i ( t \ U. ( x \ { t } ) ) ) = (/) ) )
34	33	ralrimiv 2965	. . . . . . . 8 |- ( z e. x -> A. t e. ( x \ { z } ) ( z i^i ( t \ U. ( x \ { t } ) ) ) = (/) )
35		iuneq2 4537	. . . . . . . 8 |- ( A. t e. ( x \ { z } ) ( z i^i ( t \ U. ( x \ { t } ) ) ) = (/) -> U_ t e. ( x \ { z } ) ( z i^i ( t \ U. ( x \ { t } ) ) ) = U_ t e. ( x \ { z } ) (/) )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 |- ( z e. x -> U_ t e. ( x \ { z } ) ( z i^i ( t \ U. ( x \ { t } ) ) ) = U_ t e. ( x \ { z } ) (/) )
37		iun0 4576	. . . . . . 7 |- U_ t e. ( x \ { z } ) (/) = (/)
38	36, 37	syl6eq 2672	. . . . . 6 |- ( z e. x -> U_ t e. ( x \ { z } ) ( z i^i ( t \ U. ( x \ { t } ) ) ) = (/) )
39	38	uneq2d 3767	. . . . 5 |- ( z e. x -> ( ( z i^i ( z \ U. ( x \ { z } ) ) ) u. U_ t e. ( x \ { z } ) ( z i^i ( t \ U. ( x \ { t } ) ) ) ) = ( ( z i^i ( z \ U. ( x \ { z } ) ) ) u. (/) ) )
40	27, 39	syl5eq 2668	. . . 4 |- ( z e. x -> U_ t e. ( { z } u. ( x \ { z } ) ) ( z i^i ( t \ U. ( x \ { t } ) ) ) = ( ( z i^i ( z \ U. ( x \ { z } ) ) ) u. (/) ) )
41	15, 40	eqtrd 2656	. . 3 |- ( z e. x -> U_ t e. x ( z i^i ( t \ U. ( x \ { t } ) ) ) = ( ( z i^i ( z \ U. ( x \ { z } ) ) ) u. (/) ) )
42		un0 3967	. . . 4 |- ( ( z i^i ( z \ U. ( x \ { z } ) ) ) u. (/) ) = ( z i^i ( z \ U. ( x \ { z } ) ) )
43		indif 3869	. . . 4 |- ( z i^i ( z \ U. ( x \ { z } ) ) ) = ( z \ U. ( x \ { z } ) )
44	42, 43	eqtri 2644	. . 3 |- ( ( z i^i ( z \ U. ( x \ { z } ) ) ) u. (/) ) = ( z \ U. ( x \ { z } ) )
45	41, 44	syl6eq 2672	. 2 |- ( z e. x -> U_ t e. x ( z i^i ( t \ U. ( x \ { t } ) ) ) = ( z \ U. ( x \ { z } ) ) )
46	9, 45	syl5eq 2668	1 |- ( z e. x -> ( z i^i U. A ) = ( z \ U. ( x \ { z } ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   U.cuni 4436   U_ciun 4520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-sn 4178  df-uni 4437  df-iun 4522

This theorem is referenced by:  kmlem12  8983