Theorem n0el 3940

Description: Negated membership of the empty set in another class. (Contributed by Rodolfo Medina, 25-Sep-2010.)

Assertion

Ref	Expression
n0el	|- ( -. (/) e. A <-> A. x e. A E. u u e. x )

Distinct variable groups:   x, A   x, u

Allowed substitution hint:   A( u)

Proof of Theorem n0el

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 2917	. 2 |- ( A. x e. A -. A. u -. u e. x <-> A. x ( x e. A -> -. A. u -. u e. x ) )
2		df-ex 1705	. . 3 |- ( E. u u e. x <-> -. A. u -. u e. x )
3	2	ralbii 2980	. 2 |- ( A. x e. A E. u u e. x <-> A. x e. A -. A. u -. u e. x )
4		alnex 1706	. . 3 |- ( A. x -. ( x e. A /\ A. u -. u e. x ) <-> -. E. x ( x e. A /\ A. u -. u e. x ) )
5		imnang 1769	. . 3 |- ( A. x ( x e. A -> -. A. u -. u e. x ) <-> A. x -. ( x e. A /\ A. u -. u e. x ) )
6		0el 3939	. . . . 5 |- ( (/) e. A <-> E. x e. A A. u -. u e. x )
7		df-rex 2918	. . . . 5 |- ( E. x e. A A. u -. u e. x <-> E. x ( x e. A /\ A. u -. u e. x ) )
8	6, 7	bitri 264	. . . 4 |- ( (/) e. A <-> E. x ( x e. A /\ A. u -. u e. x ) )
9	8	notbii 310	. . 3 |- ( -. (/) e. A <-> -. E. x ( x e. A /\ A. u -. u e. x ) )
10	4, 5, 9	3bitr4ri 293	. 2 |- ( -. (/) e. A <-> A. x ( x e. A -> -. A. u -. u e. x ) )
11	1, 3, 10	3bitr4ri 293	1 |- ( -. (/) e. A <-> A. x e. A E. u u e. x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   (/)c0 3915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3202  df-dif 3577  df-nul 3916

This theorem is referenced by:  n0el2  34103  prter2  34166