Theorem oprabv 6703

Description: If a pair and a class are in a relationship given by a class abstraction of a collection of nested ordered pairs, the involved classes are sets. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
oprabv	|- ( <. X , Y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } Z -> ( X e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. _V ) )

Distinct variable groups:   x, X, y, z   x, Y, y, z   x, Z, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem oprabv

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reloprab 6702	. . 3 |- Rel { <. <. x , y >. , z >. | ph }
2		brrelex12 5155	. . 3 |- ( ( Rel { <. <. x , y >. , z >. | ph } /\ <. X , Y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } Z ) -> ( <. X , Y >. e. _V /\ Z e. _V ) )
3	1, 2	mpan 706	. 2 |- ( <. X , Y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } Z -> ( <. X , Y >. e. _V /\ Z e. _V ) )
4		df-br 4654	. . . . 5 |- ( <. X , Y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } Z <-> <. <. X , Y >. , Z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } )
5		opex 4932	. . . . . . . . 9 |- <. X , Y >. e. _V
6		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ w <. X , Y >.
7	6	nfeq1 2778	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ w <. X , Y >. = <. x , y >.
8		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ w ph
9	7, 8	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ w ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ ph )
10	9	nfex 2154	. . . . . . . . . . 11 |- F/ w E. y ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ ph )
11	10	nfex 2154	. . . . . . . . . 10 |- F/ w E. x E. y ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ ph )
12		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ z <. X , Y >.
13	12	nfeq1 2778	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ z <. X , Y >. = <. x , y >.
14		nfsbc1v 3455	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ z [. Z / z ]. ph
15	13, 14	nfan 1828	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ z ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ [. Z / z ]. ph )
16	15	nfex 2154	. . . . . . . . . . 11 |- F/ z E. y ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ [. Z / z ]. ph )
17	16	nfex 2154	. . . . . . . . . 10 |- F/ z E. x E. y ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ [. Z / z ]. ph )
18		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = <. X , Y >. -> ( w = <. x , y >. <-> <. X , Y >. = <. x , y >. ) )
19	18	anbi1d 741	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = <. X , Y >. -> ( ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ ph ) ) )
20	19	2exbidv 1852	. . . . . . . . . 10 |- ( w = <. X , Y >. -> ( E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ ph ) ) )
21		sbceq1a 3446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = Z -> ( ph <-> [. Z / z ]. ph ) )
22	21	anbi2d 740	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = Z -> ( ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ ph ) <-> ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ [. Z / z ]. ph ) ) )
23	22	2exbidv 1852	. . . . . . . . . 10 |- ( z = Z -> ( E. x E. y ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ ph ) <-> E. x E. y ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ [. Z / z ]. ph ) ) )
24	11, 17, 20, 23	opelopabgf 4995	. . . . . . . . 9 |- ( ( <. X , Y >. e. _V /\ Z e. _V ) -> ( <. <. X , Y >. , Z >. e. { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } <-> E. x E. y ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ [. Z / z ]. ph ) ) )
25	5, 24	mpan 706	. . . . . . . 8 |- ( Z e. _V -> ( <. <. X , Y >. , Z >. e. { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } <-> E. x E. y ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ [. Z / z ]. ph ) ) )
26		eqcom 2629	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <. X , Y >. = <. x , y >. <-> <. x , y >. = <. X , Y >. )
27		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- x e. _V
28		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
29	27, 28	opth 4945	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <. x , y >. = <. X , Y >. <-> ( x = X /\ y = Y ) )
30	26, 29	bitri 264	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( <. X , Y >. = <. x , y >. <-> ( x = X /\ y = Y ) )
31		eqvisset 3211	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = X -> X e. _V )
32		eqvisset 3211	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = Y -> Y e. _V )
33	31, 32	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = X /\ y = Y ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
34	30, 33	sylbi 207	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. X , Y >. = <. x , y >. -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
35	34	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ [. Z / z ]. ph ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
36	35	exlimivv 1860	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. x E. y ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ [. Z / z ]. ph ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V ) )
37	36	anim1i 592	. . . . . . . . . 10 |- ( ( E. x E. y ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ [. Z / z ]. ph ) /\ Z e. _V ) -> ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ Z e. _V ) )
38		df-3an 1039	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. _V ) <-> ( ( X e. _V /\ Y e. _V ) /\ Z e. _V ) )
39	37, 38	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( E. x E. y ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ [. Z / z ]. ph ) /\ Z e. _V ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. _V ) )
40	39	expcom 451	. . . . . . . 8 |- ( Z e. _V -> ( E. x E. y ( <. X , Y >. = <. x , y >. /\ [. Z / z ]. ph ) -> ( X e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. _V ) ) )
41	25, 40	sylbid 230	. . . . . . 7 |- ( Z e. _V -> ( <. <. X , Y >. , Z >. e. { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } -> ( X e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. _V ) ) )
42	41	com12 32	. . . . . 6 |- ( <. <. X , Y >. , Z >. e. { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) } -> ( Z e. _V -> ( X e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. _V ) ) )
43		dfoprab2 6701	. . . . . 6 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } = { <. w , z >. | E. x E. y ( w = <. x , y >. /\ ph ) }
44	42, 43	eleq2s 2719	. . . . 5 |- ( <. <. X , Y >. , Z >. e. { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> ( Z e. _V -> ( X e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. _V ) ) )
45	4, 44	sylbi 207	. . . 4 |- ( <. X , Y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } Z -> ( Z e. _V -> ( X e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. _V ) ) )
46	45	com12 32	. . 3 |- ( Z e. _V -> ( <. X , Y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } Z -> ( X e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. _V ) ) )
47	46	adantl 482	. 2 |- ( ( <. X , Y >. e. _V /\ Z e. _V ) -> ( <. X , Y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } Z -> ( X e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. _V ) ) )
48	3, 47	mpcom 38	1 |- ( <. X , Y >. { <. <. x , y >. , z >. | ph } Z -> ( X e. _V /\ Y e. _V /\ Z e. _V ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   <.cop 4183   class class class wbr 4653   {copab 4712   Rel wrel 5119   {coprab 6651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-oprab 6654

This theorem is referenced by: (None)