Theorem ord3ex 4856

Description: The ordinal number 3 is a set, proved without the Axiom of Union ax-un 6949. (Contributed by NM, 2-May-2009.)

Assertion

Ref	Expression
ord3ex	|- { (/) , { (/) } , { (/) , { (/) } } } e. _V

Proof of Theorem ord3ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 4182	. 2 |- { (/) , { (/) } , { (/) , { (/) } } } = ( { (/) , { (/) } } u. { { (/) , { (/) } } } )
2		pwpr 4430	. . . 4 |- ~P { (/) , { (/) } } = ( { (/) , { (/) } } u. { { { (/) } } , { (/) , { (/) } } } )
3		pp0ex 4855	. . . . 5 |- { (/) , { (/) } } e. _V
4	3	pwex 4848	. . . 4 |- ~P { (/) , { (/) } } e. _V
5	2, 4	eqeltrri 2698	. . 3 |- ( { (/) , { (/) } } u. { { { (/) } } , { (/) , { (/) } } } ) e. _V
6		snsspr2 4346	. . . 4 |- { { (/) , { (/) } } } C_ { { { (/) } } , { (/) , { (/) } } }
7		unss2 3784	. . . 4 |- ( { { (/) , { (/) } } } C_ { { { (/) } } , { (/) , { (/) } } } -> ( { (/) , { (/) } } u. { { (/) , { (/) } } } ) C_ ( { (/) , { (/) } } u. { { { (/) } } , { (/) , { (/) } } } ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 |- ( { (/) , { (/) } } u. { { (/) , { (/) } } } ) C_ ( { (/) , { (/) } } u. { { { (/) } } , { (/) , { (/) } } } )
9	5, 8	ssexi 4803	. 2 |- ( { (/) , { (/) } } u. { { (/) , { (/) } } } ) e. _V
10	1, 9	eqeltri 2697	1 |- { (/) , { (/) } , { (/) , { (/) } } } e. _V

Syntax hints:   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179   {ctp 4181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182

This theorem is referenced by: (None)