Theorem pwpr 4430

Description: The power set of an unordered pair. (Contributed by NM, 1-May-2009.)

Assertion

Ref	Expression
pwpr	|- ~P { A , B } = ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } )

Proof of Theorem pwpr

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspr 4366	. . . 4 |- ( x C_ { A , B } <-> ( ( x = (/) \/ x = { A } ) \/ ( x = { B } \/ x = { A , B } ) ) )
2		vex 3203	. . . . . 6 |- x e. _V
3	2	elpr 4198	. . . . 5 |- ( x e. { (/) , { A } } <-> ( x = (/) \/ x = { A } ) )
4	2	elpr 4198	. . . . 5 |- ( x e. { { B } , { A , B } } <-> ( x = { B } \/ x = { A , B } ) )
5	3, 4	orbi12i 543	. . . 4 |- ( ( x e. { (/) , { A } } \/ x e. { { B } , { A , B } } ) <-> ( ( x = (/) \/ x = { A } ) \/ ( x = { B } \/ x = { A , B } ) ) )
6	1, 5	bitr4i 267	. . 3 |- ( x C_ { A , B } <-> ( x e. { (/) , { A } } \/ x e. { { B } , { A , B } } ) )
7		selpw 4165	. . 3 |- ( x e. ~P { A , B } <-> x C_ { A , B } )
8		elun 3753	. . 3 |- ( x e. ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) <-> ( x e. { (/) , { A } } \/ x e. { { B } , { A , B } } ) )
9	6, 7, 8	3bitr4i 292	. 2 |- ( x e. ~P { A , B } <-> x e. ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } ) )
10	9	eqriv 2619	1 |- ~P { A , B } = ( { (/) , { A } } u. { { B } , { A , B } } )

Syntax hints:   \/ wo 383   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180

This theorem is referenced by:  pwpwpw0  4432  ord3ex  4856  hash2pwpr  13258  pr2pwpr  13261  prsiga  30194  prsal  40538