Theorem prslem 16931

Description: Lemma for prsref 16932 and prstr 16933. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isprs.b	|- B = ( Base ` K )
isprs.l	|- .<_ = ( le ` K )

Assertion

Ref	Expression
prslem	|- ( ( K e. Preset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .<_ X /\ ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ Z ) -> X .<_ Z ) ) )

Proof of Theorem prslem

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isprs.b	. . . 4 |- B = ( Base ` K )
2		isprs.l	. . . 4 |- .<_ = ( le ` K )
3	1, 2	isprs 16930	. . 3 |- ( K e. Preset <-> ( K e. _V /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) ) )
4	3	simprbi 480	. 2 |- ( K e. Preset -> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) )
5		breq12 4658	. . . . 5 |- ( ( x = X /\ x = X ) -> ( x .<_ x <-> X .<_ X ) )
6	5	anidms 677	. . . 4 |- ( x = X -> ( x .<_ x <-> X .<_ X ) )
7		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( x = X -> ( x .<_ y <-> X .<_ y ) )
8	7	anbi1d 741	. . . . 5 |- ( x = X -> ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) <-> ( X .<_ y /\ y .<_ z ) ) )
9		breq1 4656	. . . . 5 |- ( x = X -> ( x .<_ z <-> X .<_ z ) )
10	8, 9	imbi12d 334	. . . 4 |- ( x = X -> ( ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) <-> ( ( X .<_ y /\ y .<_ z ) -> X .<_ z ) ) )
11	6, 10	anbi12d 747	. . 3 |- ( x = X -> ( ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) <-> ( X .<_ X /\ ( ( X .<_ y /\ y .<_ z ) -> X .<_ z ) ) ) )
12		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( y = Y -> ( X .<_ y <-> X .<_ Y ) )
13		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( y = Y -> ( y .<_ z <-> Y .<_ z ) )
14	12, 13	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( y = Y -> ( ( X .<_ y /\ y .<_ z ) <-> ( X .<_ Y /\ Y .<_ z ) ) )
15	14	imbi1d 331	. . . 4 |- ( y = Y -> ( ( ( X .<_ y /\ y .<_ z ) -> X .<_ z ) <-> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ z ) -> X .<_ z ) ) )
16	15	anbi2d 740	. . 3 |- ( y = Y -> ( ( X .<_ X /\ ( ( X .<_ y /\ y .<_ z ) -> X .<_ z ) ) <-> ( X .<_ X /\ ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ z ) -> X .<_ z ) ) ) )
17		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( z = Z -> ( Y .<_ z <-> Y .<_ Z ) )
18	17	anbi2d 740	. . . . 5 |- ( z = Z -> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ z ) <-> ( X .<_ Y /\ Y .<_ Z ) ) )
19		breq2 4657	. . . . 5 |- ( z = Z -> ( X .<_ z <-> X .<_ Z ) )
20	18, 19	imbi12d 334	. . . 4 |- ( z = Z -> ( ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ z ) -> X .<_ z ) <-> ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ Z ) -> X .<_ Z ) ) )
21	20	anbi2d 740	. . 3 |- ( z = Z -> ( ( X .<_ X /\ ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ z ) -> X .<_ z ) ) <-> ( X .<_ X /\ ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ Z ) -> X .<_ Z ) ) ) )
22	11, 16, 21	rspc3v 3325	. 2 |- ( ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) -> ( X .<_ X /\ ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ Z ) -> X .<_ Z ) ) ) )
23	4, 22	mpan9 486	1 |- ( ( K e. Preset /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( X .<_ X /\ ( ( X .<_ Y /\ Y .<_ Z ) -> X .<_ Z ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   Preset cpreset 16926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-preset 16928

This theorem is referenced by:  prsref  16932  prstr  16933