Theorem isprs 16930

Description: Property of being a preordered set. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isprs.b	|- B = ( Base ` K )
isprs.l	|- .<_ = ( le ` K )

Assertion

Ref	Expression
isprs	|- ( K e. Preset <-> ( K e. _V /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) ) )

Distinct variable groups:   x, K, y, z   x, B, y, z   x, .<_ , y, z

Proof of Theorem isprs

Dummy variables f b r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . 4 |- ( f = K -> ( Base ` f ) = ( Base ` K ) )
2		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( f = K -> ( le ` f ) = ( le ` K ) )
3	2	sbceq1d 3440	. . . 4 |- ( f = K -> ( [. ( le ` f ) / r ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) <-> [. ( le ` K ) / r ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) ) )
4	1, 3	sbceqbid 3442	. . 3 |- ( f = K -> ( [. ( Base ` f ) / b ]. [. ( le ` f ) / r ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) <-> [. ( Base ` K ) / b ]. [. ( le ` K ) / r ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) ) )
5		fvex 6201	. . . 4 |- ( Base ` K ) e. _V
6		fvex 6201	. . . 4 |- ( le ` K ) e. _V
7		isprs.b	. . . . . . 7 |- B = ( Base ` K )
8		eqtr3 2643	. . . . . . 7 |- ( ( b = ( Base ` K ) /\ B = ( Base ` K ) ) -> b = B )
9	7, 8	mpan2 707	. . . . . 6 |- ( b = ( Base ` K ) -> b = B )
10		raleq 3138	. . . . . . . 8 |- ( b = B -> ( A. z e. b ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) <-> A. z e. B ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) ) )
11	10	raleqbi1dv 3146	. . . . . . 7 |- ( b = B -> ( A. y e. b A. z e. b ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) <-> A. y e. B A. z e. B ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) ) )
12	11	raleqbi1dv 3146	. . . . . 6 |- ( b = B -> ( A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) ) )
13	9, 12	syl 17	. . . . 5 |- ( b = ( Base ` K ) -> ( A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) ) )
14		isprs.l	. . . . . . 7 |- .<_ = ( le ` K )
15		eqtr3 2643	. . . . . . 7 |- ( ( r = ( le ` K ) /\ .<_ = ( le ` K ) ) -> r = .<_ )
16	14, 15	mpan2 707	. . . . . 6 |- ( r = ( le ` K ) -> r = .<_ )
17		breq 4655	. . . . . . . . 9 |- ( r = .<_ -> ( x r x <-> x .<_ x ) )
18		breq 4655	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = .<_ -> ( x r y <-> x .<_ y ) )
19		breq 4655	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = .<_ -> ( y r z <-> y .<_ z ) )
20	18, 19	anbi12d 747	. . . . . . . . . 10 |- ( r = .<_ -> ( ( x r y /\ y r z ) <-> ( x .<_ y /\ y .<_ z ) ) )
21		breq 4655	. . . . . . . . . 10 |- ( r = .<_ -> ( x r z <-> x .<_ z ) )
22	20, 21	imbi12d 334	. . . . . . . . 9 |- ( r = .<_ -> ( ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) <-> ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) )
23	17, 22	anbi12d 747	. . . . . . . 8 |- ( r = .<_ -> ( ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) <-> ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) ) )
24	23	ralbidv 2986	. . . . . . 7 |- ( r = .<_ -> ( A. z e. B ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) <-> A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) ) )
25	24	2ralbidv 2989	. . . . . 6 |- ( r = .<_ -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) ) )
26	16, 25	syl 17	. . . . 5 |- ( r = ( le ` K ) -> ( A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) ) )
27	13, 26	sylan9bb 736	. . . 4 |- ( ( b = ( Base ` K ) /\ r = ( le ` K ) ) -> ( A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) ) )
28	5, 6, 27	sbc2ie 3505	. . 3 |- ( [. ( Base ` K ) / b ]. [. ( le ` K ) / r ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) )
29	4, 28	syl6bb 276	. 2 |- ( f = K -> ( [. ( Base ` f ) / b ]. [. ( le ` f ) / r ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) <-> A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) ) )
30		df-preset 16928	. 2 |- Preset = { f | [. ( Base ` f ) / b ]. [. ( le ` f ) / r ]. A. x e. b A. y e. b A. z e. b ( x r x /\ ( ( x r y /\ y r z ) -> x r z ) ) }
31	29, 30	elab4g 3355	1 |- ( K e. Preset <-> ( K e. _V /\ A. x e. B A. y e. B A. z e. B ( x .<_ x /\ ( ( x .<_ y /\ y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   [.wsbc 3435   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Basecbs 15857   lecple 15948   Preset cpreset 16926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-nul 4789

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-iota 5851  df-fv 5896  df-preset 16928

This theorem is referenced by:  prslem  16931  ispos2  16948  ressprs  29655  oduprs  29656