Theorem psubspset 35030

Description: The set of projective subspaces in a Hilbert lattice. (Contributed by NM, 2-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
psubspset.l	|- .<_ = ( le ` K )
psubspset.j	|- .\/ = ( join ` K )
psubspset.a	|- A = ( Atoms ` K )
psubspset.s	|- S = ( PSubSp ` K )

Assertion

Ref	Expression
psubspset	|- ( K e. B -> S = { s | ( s C_ A /\ A. p e. s A. q e. s A. r e. A ( r .<_ ( p .\/ q ) -> r e. s ) ) } )

Distinct variable groups:   s, r, A   q, p, r, s, K

Allowed substitution hints:   A( q, p)   B( s, r, q, p)   S( s, r, q, p)   .\/ ( s, r, q, p)   .<_ ( s, r, q, p)

Proof of Theorem psubspset

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3212	. 2 |- ( K e. B -> K e. _V )
2		psubspset.s	. . 3 |- S = ( PSubSp ` K )
3		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( k = K -> ( Atoms ` k ) = ( Atoms ` K ) )
4		psubspset.a	. . . . . . . 8 |- A = ( Atoms ` K )
5	3, 4	syl6eqr 2674	. . . . . . 7 |- ( k = K -> ( Atoms ` k ) = A )
6	5	sseq2d 3633	. . . . . 6 |- ( k = K -> ( s C_ ( Atoms ` k ) <-> s C_ A ) )
7		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = K -> ( join ` k ) = ( join ` K ) )
8		psubspset.j	. . . . . . . . . . . . 13 |- .\/ = ( join ` K )
9	7, 8	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = K -> ( join ` k ) = .\/ )
10	9	oveqd 6667	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = K -> ( p ( join ` k ) q ) = ( p .\/ q ) )
11	10	breq2d 4665	. . . . . . . . . 10 |- ( k = K -> ( r ( le ` k ) ( p ( join ` k ) q ) <-> r ( le ` k ) ( p .\/ q ) ) )
12		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = K -> ( le ` k ) = ( le ` K ) )
13		psubspset.l	. . . . . . . . . . . 12 |- .<_ = ( le ` K )
14	12, 13	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = K -> ( le ` k ) = .<_ )
15	14	breqd 4664	. . . . . . . . . 10 |- ( k = K -> ( r ( le ` k ) ( p .\/ q ) <-> r .<_ ( p .\/ q ) ) )
16	11, 15	bitrd 268	. . . . . . . . 9 |- ( k = K -> ( r ( le ` k ) ( p ( join ` k ) q ) <-> r .<_ ( p .\/ q ) ) )
17	16	imbi1d 331	. . . . . . . 8 |- ( k = K -> ( ( r ( le ` k ) ( p ( join ` k ) q ) -> r e. s ) <-> ( r .<_ ( p .\/ q ) -> r e. s ) ) )
18	5, 17	raleqbidv 3152	. . . . . . 7 |- ( k = K -> ( A. r e. ( Atoms ` k ) ( r ( le ` k ) ( p ( join ` k ) q ) -> r e. s ) <-> A. r e. A ( r .<_ ( p .\/ q ) -> r e. s ) ) )
19	18	2ralbidv 2989	. . . . . 6 |- ( k = K -> ( A. p e. s A. q e. s A. r e. ( Atoms ` k ) ( r ( le ` k ) ( p ( join ` k ) q ) -> r e. s ) <-> A. p e. s A. q e. s A. r e. A ( r .<_ ( p .\/ q ) -> r e. s ) ) )
20	6, 19	anbi12d 747	. . . . 5 |- ( k = K -> ( ( s C_ ( Atoms ` k ) /\ A. p e. s A. q e. s A. r e. ( Atoms ` k ) ( r ( le ` k ) ( p ( join ` k ) q ) -> r e. s ) ) <-> ( s C_ A /\ A. p e. s A. q e. s A. r e. A ( r .<_ ( p .\/ q ) -> r e. s ) ) ) )
21	20	abbidv 2741	. . . 4 |- ( k = K -> { s | ( s C_ ( Atoms ` k ) /\ A. p e. s A. q e. s A. r e. ( Atoms ` k ) ( r ( le ` k ) ( p ( join ` k ) q ) -> r e. s ) ) } = { s | ( s C_ A /\ A. p e. s A. q e. s A. r e. A ( r .<_ ( p .\/ q ) -> r e. s ) ) } )
22		df-psubsp 34789	. . . 4 |- PSubSp = ( k e. _V |-> { s | ( s C_ ( Atoms ` k ) /\ A. p e. s A. q e. s A. r e. ( Atoms ` k ) ( r ( le ` k ) ( p ( join ` k ) q ) -> r e. s ) ) } )
23		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( Atoms ` K ) e. _V
24	4, 23	eqeltri 2697	. . . . . 6 |- A e. _V
25	24	pwex 4848	. . . . 5 |- ~P A e. _V
26		selpw 4165	. . . . . . . 8 |- ( s e. ~P A <-> s C_ A )
27	26	anbi1i 731	. . . . . . 7 |- ( ( s e. ~P A /\ A. p e. s A. q e. s A. r e. A ( r .<_ ( p .\/ q ) -> r e. s ) ) <-> ( s C_ A /\ A. p e. s A. q e. s A. r e. A ( r .<_ ( p .\/ q ) -> r e. s ) ) )
28	27	abbii 2739	. . . . . 6 |- { s | ( s e. ~P A /\ A. p e. s A. q e. s A. r e. A ( r .<_ ( p .\/ q ) -> r e. s ) ) } = { s | ( s C_ A /\ A. p e. s A. q e. s A. r e. A ( r .<_ ( p .\/ q ) -> r e. s ) ) }
29		ssab2 3686	. . . . . 6 |- { s | ( s e. ~P A /\ A. p e. s A. q e. s A. r e. A ( r .<_ ( p .\/ q ) -> r e. s ) ) } C_ ~P A
30	28, 29	eqsstr3i 3636	. . . . 5 |- { s | ( s C_ A /\ A. p e. s A. q e. s A. r e. A ( r .<_ ( p .\/ q ) -> r e. s ) ) } C_ ~P A
31	25, 30	ssexi 4803	. . . 4 |- { s | ( s C_ A /\ A. p e. s A. q e. s A. r e. A ( r .<_ ( p .\/ q ) -> r e. s ) ) } e. _V
32	21, 22, 31	fvmpt 6282	. . 3 |- ( K e. _V -> ( PSubSp ` K ) = { s | ( s C_ A /\ A. p e. s A. q e. s A. r e. A ( r .<_ ( p .\/ q ) -> r e. s ) ) } )
33	2, 32	syl5eq 2668	. 2 |- ( K e. _V -> S = { s | ( s C_ A /\ A. p e. s A. q e. s A. r e. A ( r .<_ ( p .\/ q ) -> r e. s ) ) } )
34	1, 33	syl 17	1 |- ( K e. B -> S = { s | ( s C_ A /\ A. p e. s A. q e. s A. r e. A ( r .<_ ( p .\/ q ) -> r e. s ) ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   lecple 15948   joincjn 16944   Atomscatm 34550   PSubSpcpsubsp 34782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-psubsp 34789

This theorem is referenced by:  ispsubsp  35031