Theorem r19.12 3063

Description: Restricted quantifier version of 19.12 2164. (Contributed by NM, 15-Oct-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 30-May-2011.)

Assertion

Ref	Expression
r19.12	|- ( E. x e. A A. y e. B ph -> A. y e. B E. x e. A ph )

Distinct variable groups:   x, y   y, A   x, B

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x)   B( y)

Proof of Theorem r19.12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2764	. . . 4 |- F/_ y A
2		nfra1 2941	. . . 4 |- F/ y A. y e. B ph
3	1, 2	nfrex 3007	. . 3 |- F/ y E. x e. A A. y e. B ph
4		ax-1 6	. . 3 |- ( E. x e. A A. y e. B ph -> ( y e. B -> E. x e. A A. y e. B ph ) )
5	3, 4	ralrimi 2957	. 2 |- ( E. x e. A A. y e. B ph -> A. y e. B E. x e. A A. y e. B ph )
6		rsp 2929	. . . . 5 |- ( A. y e. B ph -> ( y e. B -> ph ) )
7	6	com12 32	. . . 4 |- ( y e. B -> ( A. y e. B ph -> ph ) )
8	7	reximdv 3016	. . 3 |- ( y e. B -> ( E. x e. A A. y e. B ph -> E. x e. A ph ) )
9	8	ralimia 2950	. 2 |- ( A. y e. B E. x e. A A. y e. B ph -> A. y e. B E. x e. A ph )
10	5, 9	syl 17	1 |- ( E. x e. A A. y e. B ph -> A. y e. B E. x e. A ph )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918

This theorem is referenced by:  iuniin  4531  ucncn  22089  ftc1a  23800  heicant  33444  rngoid  33701  rngmgmbs4  33730  intimass  37946  intimag  37948