Theorem intimag 37948

Description: Requirement for the image under the intersection of relations to equal the intersection of the images of those relations. (Contributed by RP, 13-Apr-2020.)

Assertion

Ref	Expression
intimag	|- ( A. y ( A. a e. A E. b e. B <. b , y >. e. a -> E. b e. B A. a e. A <. b , y >. e. a ) -> ( |^| A " B ) = |^| { x | E. a e. A x = ( a " B ) } )

Distinct variable groups:   x, a, y, A   B, a, x, y   A, b   B, b, a, y, x

Proof of Theorem intimag

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.12 3063	. . . . 5 |- ( E. b e. B A. a e. A <. b , y >. e. a -> A. a e. A E. b e. B <. b , y >. e. a )
2		id 22	. . . . 5 |- ( ( A. a e. A E. b e. B <. b , y >. e. a -> E. b e. B A. a e. A <. b , y >. e. a ) -> ( A. a e. A E. b e. B <. b , y >. e. a -> E. b e. B A. a e. A <. b , y >. e. a ) )
3	1, 2	impbid2 216	. . . 4 |- ( ( A. a e. A E. b e. B <. b , y >. e. a -> E. b e. B A. a e. A <. b , y >. e. a ) -> ( E. b e. B A. a e. A <. b , y >. e. a <-> A. a e. A E. b e. B <. b , y >. e. a ) )
4		elimaint 37940	. . . 4 |- ( y e. ( |^| A " B ) <-> E. b e. B A. a e. A <. b , y >. e. a )
5		elintima 37945	. . . 4 |- ( y e. |^| { x | E. a e. A x = ( a " B ) } <-> A. a e. A E. b e. B <. b , y >. e. a )
6	3, 4, 5	3bitr4g 303	. . 3 |- ( ( A. a e. A E. b e. B <. b , y >. e. a -> E. b e. B A. a e. A <. b , y >. e. a ) -> ( y e. ( |^| A " B ) <-> y e. |^| { x | E. a e. A x = ( a " B ) } ) )
7	6	alimi 1739	. 2 |- ( A. y ( A. a e. A E. b e. B <. b , y >. e. a -> E. b e. B A. a e. A <. b , y >. e. a ) -> A. y ( y e. ( |^| A " B ) <-> y e. |^| { x | E. a e. A x = ( a " B ) } ) )
8		dfcleq 2616	. 2 |- ( ( |^| A " B ) = |^| { x | E. a e. A x = ( a " B ) } <-> A. y ( y e. ( |^| A " B ) <-> y e. |^| { x | E. a e. A x = ( a " B ) } ) )
9	7, 8	sylibr 224	1 |- ( A. y ( A. a e. A E. b e. B <. b , y >. e. a -> E. b e. B A. a e. A <. b , y >. e. a ) -> ( |^| A " B ) = |^| { x | E. a e. A x = ( a " B ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   <.cop 4183   |^|cint 4475   "cima 5117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127

This theorem is referenced by:  intimasn  37949