Theorem ucncn 22089

Description: Uniform continuity implies continuity. Deduction form. Proposition 1 of [BourbakiTop1] p. II.6. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ucncn.j	|- J = ( TopOpen ` R )
ucncn.k	|- K = ( TopOpen ` S )
ucncn.1	|- ( ph -> R e. UnifSp )
ucncn.2	|- ( ph -> S e. UnifSp )
ucncn.3	|- ( ph -> R e. TopSp )
ucncn.4	|- ( ph -> S e. TopSp )
ucncn.5	|- ( ph -> F e. ( (UnifSt ` R ) Cnu (UnifSt ` S ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ucncn	|- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )

Proof of Theorem ucncn

Dummy variables r a s x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ucncn.5	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( (UnifSt ` R ) Cnu (UnifSt ` S ) ) )
2		ucncn.1	. . . . . 6 |- ( ph -> R e. UnifSp )
3		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
4		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- (UnifSt ` R ) = (UnifSt ` R )
5		ucncn.j	. . . . . . . 8 |- J = ( TopOpen ` R )
6	3, 4, 5	isusp 22065	. . . . . . 7 |- ( R e. UnifSp <-> ( (UnifSt ` R ) e. (UnifOn ` ( Base ` R ) ) /\ J = (unifTop ` (UnifSt ` R ) ) ) )
7	6	simplbi 476	. . . . . 6 |- ( R e. UnifSp -> (UnifSt ` R ) e. (UnifOn ` ( Base ` R ) ) )
8	2, 7	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> (UnifSt ` R ) e. (UnifOn ` ( Base ` R ) ) )
9		ucncn.2	. . . . . 6 |- ( ph -> S e. UnifSp )
10		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
11		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- (UnifSt ` S ) = (UnifSt ` S )
12		ucncn.k	. . . . . . . 8 |- K = ( TopOpen ` S )
13	10, 11, 12	isusp 22065	. . . . . . 7 |- ( S e. UnifSp <-> ( (UnifSt ` S ) e. (UnifOn ` ( Base ` S ) ) /\ K = (unifTop ` (UnifSt ` S ) ) ) )
14	13	simplbi 476	. . . . . 6 |- ( S e. UnifSp -> (UnifSt ` S ) e. (UnifOn ` ( Base ` S ) ) )
15	9, 14	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> (UnifSt ` S ) e. (UnifOn ` ( Base ` S ) ) )
16		isucn 22082	. . . . 5 |- ( ( (UnifSt ` R ) e. (UnifOn ` ( Base ` R ) ) /\ (UnifSt ` S ) e. (UnifOn ` ( Base ` S ) ) ) -> ( F e. ( (UnifSt ` R ) Cnu (UnifSt ` S ) ) <-> ( F : ( Base ` R ) --> ( Base ` S ) /\ A. s e. (UnifSt ` S ) E. r e. (UnifSt ` R ) A. x e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> ( F ` x ) s ( F ` z ) ) ) ) )
17	8, 15, 16	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( F e. ( (UnifSt ` R ) Cnu (UnifSt ` S ) ) <-> ( F : ( Base ` R ) --> ( Base ` S ) /\ A. s e. (UnifSt ` S ) E. r e. (UnifSt ` R ) A. x e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> ( F ` x ) s ( F ` z ) ) ) ) )
18	1, 17	mpbid 222	. . 3 |- ( ph -> ( F : ( Base ` R ) --> ( Base ` S ) /\ A. s e. (UnifSt ` S ) E. r e. (UnifSt ` R ) A. x e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> ( F ` x ) s ( F ` z ) ) ) )
19	18	simpld 475	. 2 |- ( ph -> F : ( Base ` R ) --> ( Base ` S ) )
20		cnvimass 5485	. . . . 5 |- ( `' F " a ) C_ dom F
21		fdm 6051	. . . . . . 7 |- ( F : ( Base ` R ) --> ( Base ` S ) -> dom F = ( Base ` R ) )
22	19, 21	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> dom F = ( Base ` R ) )
23	22	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. K ) -> dom F = ( Base ` R ) )
24	20, 23	syl5sseq 3653	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. K ) -> ( `' F " a ) C_ ( Base ` R ) )
25		simplll 798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) -> ph )
26		simpr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) -> s e. (UnifSt ` S ) )
27	24	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) -> ( `' F " a ) C_ ( Base ` R ) )
28		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) -> x e. ( `' F " a ) )
29	27, 28	sseldd 3604	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) -> x e. ( Base ` R ) )
30	18	simprd 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. s e. (UnifSt ` S ) E. r e. (UnifSt ` R ) A. x e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> ( F ` x ) s ( F ` z ) ) )
31	30	r19.21bi 2932	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. (UnifSt ` S ) ) -> E. r e. (UnifSt ` R ) A. x e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> ( F ` x ) s ( F ` z ) ) )
32		r19.12 3063	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. r e. (UnifSt ` R ) A. x e. ( Base ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> ( F ` x ) s ( F ` z ) ) -> A. x e. ( Base ` R ) E. r e. (UnifSt ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> ( F ` x ) s ( F ` z ) ) )
33	31, 32	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. (UnifSt ` S ) ) -> A. x e. ( Base ` R ) E. r e. (UnifSt ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> ( F ` x ) s ( F ` z ) ) )
34	33	r19.21bi 2932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. (UnifSt ` S ) ) /\ x e. ( Base ` R ) ) -> E. r e. (UnifSt ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> ( F ` x ) s ( F ` z ) ) )
35	25, 26, 29, 34	syl21anc 1325	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) -> E. r e. (UnifSt ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> ( F ` x ) s ( F ` z ) ) )
36	35	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) /\ ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) -> E. r e. (UnifSt ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> ( F ` x ) s ( F ` z ) ) )
37	25	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) /\ ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) /\ r e. (UnifSt ` R ) ) /\ A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> ( F ` x ) s ( F ` z ) ) ) -> ph )
38	8	ad5antr 770	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) /\ ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) /\ r e. (UnifSt ` R ) ) -> (UnifSt ` R ) e. (UnifOn ` ( Base ` R ) ) )
39		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) /\ ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) /\ r e. (UnifSt ` R ) ) -> r e. (UnifSt ` R ) )
40		ustrel 22015	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (UnifSt ` R ) e. (UnifOn ` ( Base ` R ) ) /\ r e. (UnifSt ` R ) ) -> Rel r )
41	38, 39, 40	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) /\ ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) /\ r e. (UnifSt ` R ) ) -> Rel r )
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) /\ ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) /\ r e. (UnifSt ` R ) ) /\ A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> ( F ` x ) s ( F ` z ) ) ) -> Rel r )
43	37, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) /\ ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) /\ r e. (UnifSt ` R ) ) /\ A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> ( F ` x ) s ( F ` z ) ) ) -> (UnifSt ` R ) e. (UnifOn ` ( Base ` R ) ) )
44		simplr 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) /\ ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) /\ r e. (UnifSt ` R ) ) /\ A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> ( F ` x ) s ( F ` z ) ) ) -> r e. (UnifSt ` R ) )
45	29	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) /\ ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) /\ r e. (UnifSt ` R ) ) /\ A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> ( F ` x ) s ( F ` z ) ) ) -> x e. ( Base ` R ) )
46		ustimasn 22032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( (UnifSt ` R ) e. (UnifOn ` ( Base ` R ) ) /\ r e. (UnifSt ` R ) /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( r " { x } ) C_ ( Base ` R ) )
47	43, 44, 45, 46	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) /\ ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) /\ r e. (UnifSt ` R ) ) /\ A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> ( F ` x ) s ( F ` z ) ) ) -> ( r " { x } ) C_ ( Base ` R ) )
48		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) /\ ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) /\ r e. (UnifSt ` R ) ) /\ A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> ( F ` x ) s ( F ` z ) ) ) -> A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> ( F ` x ) s ( F ` z ) ) )
49		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) /\ ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) /\ r e. (UnifSt ` R ) ) /\ z e. ( Base ` R ) ) /\ ( F ` x ) s ( F ` z ) ) -> z e. ( Base ` R ) )
50		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) /\ ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) /\ r e. (UnifSt ` R ) ) /\ ( F ` x ) s ( F ` z ) ) -> ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a )
51	15	ad5antr 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) /\ ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) /\ r e. (UnifSt ` R ) ) -> (UnifSt ` S ) e. (UnifOn ` ( Base ` S ) ) )
52		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) /\ ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) /\ r e. (UnifSt ` R ) ) -> s e. (UnifSt ` S ) )
53		ustrel 22015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( (UnifSt ` S ) e. (UnifOn ` ( Base ` S ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) -> Rel s )
54	51, 52, 53	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) /\ ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) /\ r e. (UnifSt ` R ) ) -> Rel s )
55		elrelimasn 5489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Rel s -> ( ( F ` z ) e. ( s " { ( F ` x ) } ) <-> ( F ` x ) s ( F ` z ) ) )
56	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) /\ ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) /\ r e. (UnifSt ` R ) ) -> ( ( F ` z ) e. ( s " { ( F ` x ) } ) <-> ( F ` x ) s ( F ` z ) ) )
57	56	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) /\ ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) /\ r e. (UnifSt ` R ) ) /\ ( F ` x ) s ( F ` z ) ) -> ( F ` z ) e. ( s " { ( F ` x ) } ) )
58	50, 57	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) /\ ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) /\ r e. (UnifSt ` R ) ) /\ ( F ` x ) s ( F ` z ) ) -> ( F ` z ) e. a )
59	58	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) /\ ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) /\ r e. (UnifSt ` R ) ) /\ z e. ( Base ` R ) ) /\ ( F ` x ) s ( F ` z ) ) -> ( F ` z ) e. a )
60		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : ( Base ` R ) --> ( Base ` S ) -> F Fn ( Base ` R ) )
61		elpreima 6337	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F Fn ( Base ` R ) -> ( z e. ( `' F " a ) <-> ( z e. ( Base ` R ) /\ ( F ` z ) e. a ) ) )
62	19, 60, 61	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( z e. ( `' F " a ) <-> ( z e. ( Base ` R ) /\ ( F ` z ) e. a ) ) )
63	62	ad7antr 774	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) /\ ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) /\ r e. (UnifSt ` R ) ) /\ z e. ( Base ` R ) ) /\ ( F ` x ) s ( F ` z ) ) -> ( z e. ( `' F " a ) <-> ( z e. ( Base ` R ) /\ ( F ` z ) e. a ) ) )
64	49, 59, 63	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) /\ ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) /\ r e. (UnifSt ` R ) ) /\ z e. ( Base ` R ) ) /\ ( F ` x ) s ( F ` z ) ) -> z e. ( `' F " a ) )
65	64	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) /\ ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) /\ r e. (UnifSt ` R ) ) /\ z e. ( Base ` R ) ) -> ( ( F ` x ) s ( F ` z ) -> z e. ( `' F " a ) ) )
66	65	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) /\ ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) /\ r e. (UnifSt ` R ) ) -> A. z e. ( Base ` R ) ( ( F ` x ) s ( F ` z ) -> z e. ( `' F " a ) ) )
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) /\ ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) /\ r e. (UnifSt ` R ) ) /\ A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> ( F ` x ) s ( F ` z ) ) ) -> A. z e. ( Base ` R ) ( ( F ` x ) s ( F ` z ) -> z e. ( `' F " a ) ) )
68		r19.26 3064	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. z e. ( Base ` R ) ( ( x r z -> ( F ` x ) s ( F ` z ) ) /\ ( ( F ` x ) s ( F ` z ) -> z e. ( `' F " a ) ) ) <-> ( A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> ( F ` x ) s ( F ` z ) ) /\ A. z e. ( Base ` R ) ( ( F ` x ) s ( F ` z ) -> z e. ( `' F " a ) ) ) )
69		pm3.33 609	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x r z -> ( F ` x ) s ( F ` z ) ) /\ ( ( F ` x ) s ( F ` z ) -> z e. ( `' F " a ) ) ) -> ( x r z -> z e. ( `' F " a ) ) )
70	69	ralimi 2952	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. z e. ( Base ` R ) ( ( x r z -> ( F ` x ) s ( F ` z ) ) /\ ( ( F ` x ) s ( F ` z ) -> z e. ( `' F " a ) ) ) -> A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> z e. ( `' F " a ) ) )
71	68, 70	sylbir 225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> ( F ` x ) s ( F ` z ) ) /\ A. z e. ( Base ` R ) ( ( F ` x ) s ( F ` z ) -> z e. ( `' F " a ) ) ) -> A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> z e. ( `' F " a ) ) )
72	48, 67, 71	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) /\ ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) /\ r e. (UnifSt ` R ) ) /\ A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> ( F ` x ) s ( F ` z ) ) ) -> A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> z e. ( `' F " a ) ) )
73		simpl2l 1114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( Rel r /\ ( r " { x } ) C_ ( Base ` R ) ) /\ A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> z e. ( `' F " a ) ) ) /\ y e. ( r " { x } ) ) -> Rel r )
74		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( Rel r /\ ( r " { x } ) C_ ( Base ` R ) ) /\ A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> z e. ( `' F " a ) ) ) /\ y e. ( r " { x } ) ) -> y e. ( r " { x } ) )
75		elrelimasn 5489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Rel r -> ( y e. ( r " { x } ) <-> x r y ) )
76	75	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Rel r /\ y e. ( r " { x } ) ) -> x r y )
77	73, 74, 76	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( Rel r /\ ( r " { x } ) C_ ( Base ` R ) ) /\ A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> z e. ( `' F " a ) ) ) /\ y e. ( r " { x } ) ) -> x r y )
78		simpl2r 1115	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( Rel r /\ ( r " { x } ) C_ ( Base ` R ) ) /\ A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> z e. ( `' F " a ) ) ) /\ y e. ( r " { x } ) ) -> ( r " { x } ) C_ ( Base ` R ) )
79	78, 74	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( Rel r /\ ( r " { x } ) C_ ( Base ` R ) ) /\ A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> z e. ( `' F " a ) ) ) /\ y e. ( r " { x } ) ) -> y e. ( Base ` R ) )
80		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( Rel r /\ ( r " { x } ) C_ ( Base ` R ) ) /\ A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> z e. ( `' F " a ) ) ) /\ y e. ( r " { x } ) ) -> A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> z e. ( `' F " a ) ) )
81		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = y -> ( x r z <-> x r y ) )
82		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z = y -> ( z e. ( `' F " a ) <-> y e. ( `' F " a ) ) )
83	81, 82	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z = y -> ( ( x r z -> z e. ( `' F " a ) ) <-> ( x r y -> y e. ( `' F " a ) ) ) )
84	83	rspcv 3305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( Base ` R ) -> ( A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> z e. ( `' F " a ) ) -> ( x r y -> y e. ( `' F " a ) ) ) )
85	79, 80, 84	sylc 65	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( Rel r /\ ( r " { x } ) C_ ( Base ` R ) ) /\ A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> z e. ( `' F " a ) ) ) /\ y e. ( r " { x } ) ) -> ( x r y -> y e. ( `' F " a ) ) )
86	77, 85	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( Rel r /\ ( r " { x } ) C_ ( Base ` R ) ) /\ A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> z e. ( `' F " a ) ) ) /\ y e. ( r " { x } ) ) -> y e. ( `' F " a ) )
87	86	ex 450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( Rel r /\ ( r " { x } ) C_ ( Base ` R ) ) /\ A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> z e. ( `' F " a ) ) ) -> ( y e. ( r " { x } ) -> y e. ( `' F " a ) ) )
88	87	ssrdv 3609	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( Rel r /\ ( r " { x } ) C_ ( Base ` R ) ) /\ A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> z e. ( `' F " a ) ) ) -> ( r " { x } ) C_ ( `' F " a ) )
89	37, 42, 47, 72, 88	syl121anc 1331	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) /\ ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) /\ r e. (UnifSt ` R ) ) /\ A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> ( F ` x ) s ( F ` z ) ) ) -> ( r " { x } ) C_ ( `' F " a ) )
90	89	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) /\ ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) /\ r e. (UnifSt ` R ) ) -> ( A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> ( F ` x ) s ( F ` z ) ) -> ( r " { x } ) C_ ( `' F " a ) ) )
91	90	reximdva 3017	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) /\ ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) -> ( E. r e. (UnifSt ` R ) A. z e. ( Base ` R ) ( x r z -> ( F ` x ) s ( F ` z ) ) -> E. r e. (UnifSt ` R ) ( r " { x } ) C_ ( `' F " a ) ) )
92	36, 91	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) /\ s e. (UnifSt ` S ) ) /\ ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) -> E. r e. (UnifSt ` R ) ( r " { x } ) C_ ( `' F " a ) )
93		elpreima 6337	. . . . . . . . . . 11 |- ( F Fn ( Base ` R ) -> ( x e. ( `' F " a ) <-> ( x e. ( Base ` R ) /\ ( F ` x ) e. a ) ) )
94	19, 60, 93	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. ( `' F " a ) <-> ( x e. ( Base ` R ) /\ ( F ` x ) e. a ) ) )
95	94	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. K ) -> ( x e. ( `' F " a ) <-> ( x e. ( Base ` R ) /\ ( F ` x ) e. a ) ) )
96	95	biimpa 501	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) -> ( x e. ( Base ` R ) /\ ( F ` x ) e. a ) )
97	96	simprd 479	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) -> ( F ` x ) e. a )
98		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. K ) -> a e. K )
99	13	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( S e. UnifSp -> K = (unifTop ` (UnifSt ` S ) ) )
100	9, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> K = (unifTop ` (UnifSt ` S ) ) )
101	100	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. K ) -> K = (unifTop ` (UnifSt ` S ) ) )
102	98, 101	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. K ) -> a e. (unifTop ` (UnifSt ` S ) ) )
103		elutop 22037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (UnifSt ` S ) e. (UnifOn ` ( Base ` S ) ) -> ( a e. (unifTop ` (UnifSt ` S ) ) <-> ( a C_ ( Base ` S ) /\ A. y e. a E. s e. (UnifSt ` S ) ( s " { y } ) C_ a ) ) )
104	15, 103	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( a e. (unifTop ` (UnifSt ` S ) ) <-> ( a C_ ( Base ` S ) /\ A. y e. a E. s e. (UnifSt ` S ) ( s " { y } ) C_ a ) ) )
105	104	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ a e. K ) -> ( a e. (unifTop ` (UnifSt ` S ) ) <-> ( a C_ ( Base ` S ) /\ A. y e. a E. s e. (UnifSt ` S ) ( s " { y } ) C_ a ) ) )
106	102, 105	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. K ) -> ( a C_ ( Base ` S ) /\ A. y e. a E. s e. (UnifSt ` S ) ( s " { y } ) C_ a ) )
107	106	simprd 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. K ) -> A. y e. a E. s e. (UnifSt ` S ) ( s " { y } ) C_ a )
108	107	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) -> A. y e. a E. s e. (UnifSt ` S ) ( s " { y } ) C_ a )
109		sneq 4187	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( F ` x ) -> { y } = { ( F ` x ) } )
110	109	imaeq2d 5466	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( F ` x ) -> ( s " { y } ) = ( s " { ( F ` x ) } ) )
111	110	sseq1d 3632	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( F ` x ) -> ( ( s " { y } ) C_ a <-> ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) )
112	111	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( y = ( F ` x ) -> ( E. s e. (UnifSt ` S ) ( s " { y } ) C_ a <-> E. s e. (UnifSt ` S ) ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) )
113	112	rspcv 3305	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) e. a -> ( A. y e. a E. s e. (UnifSt ` S ) ( s " { y } ) C_ a -> E. s e. (UnifSt ` S ) ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a ) )
114	97, 108, 113	sylc 65	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) -> E. s e. (UnifSt ` S ) ( s " { ( F ` x ) } ) C_ a )
115	92, 114	r19.29a 3078	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ a e. K ) /\ x e. ( `' F " a ) ) -> E. r e. (UnifSt ` R ) ( r " { x } ) C_ ( `' F " a ) )
116	115	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. K ) -> A. x e. ( `' F " a ) E. r e. (UnifSt ` R ) ( r " { x } ) C_ ( `' F " a ) )
117	6	simprbi 480	. . . . . . . 8 |- ( R e. UnifSp -> J = (unifTop ` (UnifSt ` R ) ) )
118	2, 117	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> J = (unifTop ` (UnifSt ` R ) ) )
119	118	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. K ) -> J = (unifTop ` (UnifSt ` R ) ) )
120	119	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. K ) -> ( ( `' F " a ) e. J <-> ( `' F " a ) e. (unifTop ` (UnifSt ` R ) ) ) )
121		elutop 22037	. . . . . . 7 |- ( (UnifSt ` R ) e. (UnifOn ` ( Base ` R ) ) -> ( ( `' F " a ) e. (unifTop ` (UnifSt ` R ) ) <-> ( ( `' F " a ) C_ ( Base ` R ) /\ A. x e. ( `' F " a ) E. r e. (UnifSt ` R ) ( r " { x } ) C_ ( `' F " a ) ) ) )
122	8, 121	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( `' F " a ) e. (unifTop ` (UnifSt ` R ) ) <-> ( ( `' F " a ) C_ ( Base ` R ) /\ A. x e. ( `' F " a ) E. r e. (UnifSt ` R ) ( r " { x } ) C_ ( `' F " a ) ) ) )
123	122	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. K ) -> ( ( `' F " a ) e. (unifTop ` (UnifSt ` R ) ) <-> ( ( `' F " a ) C_ ( Base ` R ) /\ A. x e. ( `' F " a ) E. r e. (UnifSt ` R ) ( r " { x } ) C_ ( `' F " a ) ) ) )
124	120, 123	bitrd 268	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. K ) -> ( ( `' F " a ) e. J <-> ( ( `' F " a ) C_ ( Base ` R ) /\ A. x e. ( `' F " a ) E. r e. (UnifSt ` R ) ( r " { x } ) C_ ( `' F " a ) ) ) )
125	24, 116, 124	mpbir2and 957	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. K ) -> ( `' F " a ) e. J )
126	125	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ph -> A. a e. K ( `' F " a ) e. J )
127		ucncn.3	. . . 4 |- ( ph -> R e. TopSp )
128	3, 5	istps 20738	. . . 4 |- ( R e. TopSp <-> J e. (TopOn ` ( Base ` R ) ) )
129	127, 128	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> J e. (TopOn ` ( Base ` R ) ) )
130		ucncn.4	. . . 4 |- ( ph -> S e. TopSp )
131	10, 12	istps 20738	. . . 4 |- ( S e. TopSp <-> K e. (TopOn ` ( Base ` S ) ) )
132	130, 131	sylib 208	. . 3 |- ( ph -> K e. (TopOn ` ( Base ` S ) ) )
133		iscn 21039	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` ( Base ` R ) ) /\ K e. (TopOn ` ( Base ` S ) ) ) -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : ( Base ` R ) --> ( Base ` S ) /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. J ) ) )
134	129, 132, 133	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( F e. ( J Cn K ) <-> ( F : ( Base ` R ) --> ( Base ` S ) /\ A. a e. K ( `' F " a ) e. J ) ) )
135	19, 126, 134	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> F e. ( J Cn K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   dom cdm 5114   "cima 5117   Rel wrel 5119   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   TopOpenctopn 16082  TopOnctopon 20715   TopSpctps 20736   Cn ccn 21028  UnifOncust 22003  unifTopcutop 22034  UnifStcuss 22057  UnifSpcusp 22058   Cn_ucucn 22079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-map 7859  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-cn 21031  df-ust 22004  df-utop 22035  df-usp 22061  df-ucn 22080

This theorem is referenced by: (None)